- •Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1 Классификация событий. Действия над событиями
- •1.2. Относительная частота
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Элементы комбинаторики
- •Примеры решения задач
- •Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Сложение и умножение вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:
- •Свойства:
- •1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
- •2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Примеры решения задач
- •Глава 3. Повторные испытания
- •3.1 Формула Бернулли
- •3.2 Предельные теоремы Лапласа и Пуассона
- •Примеры решения задач
- •Глава 4. Дискретные случайные величины
- •4.1. Дискретные случайные величины.
- •4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
- •4. Моменты случайных величин.
- •5. Характеристики формы распределения.
- •4.3. Числовые характеристики меры связи случайных величин.
- •1. Ковариация.
- •2. Корреляция.
- •4.4. Распределения дискретных случайных величин.
- •1. Равномерное распределение.
- •2. Геометрическое распределение.
- •4. Биномиальное распределение.
- •5. Распределение Пуассона.
- •Примеры решения задач
- •Глава 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения случайной величины
- •5.2. Плотность распределения вероятностей.
- •Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей.
- •5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Примеры решения задач
- •Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин
- •6.1. Равномерное распределение.
- •6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •6.3. Нормальное распределение
- •Примеры решения задач
1.3. Классическое определение вероятности
Вероятностью события называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов испытания, в котором может появиться это событие. Вероятность события обозначается и, в соответствии с определением, определяется формулой
, (1.2)
где т – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; п –число всех возможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим.
Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Для достоверного события , поэтому .
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Для невозможного события т = 0, следовательно, .
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, заключенным между нулем и единицей.
.
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
.
Для расчета всевозможных и благоприятных исходов можно использовать формулы комбинаторики.
Если число всевозможных и благоприятных исходов подсчитать невозможно для определения вероятность появления события используют статистическое определение вероятности:
Вероятность появления события А есть достоверный предел относительной частоты при стремлении числа испытаний к бесконечности:
. (1.3)
1.4. Элементы комбинаторики
Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах.
Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся друг от друга только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок из п элементов обозначают ; это число равно
, где =123...n. (1.4)
Замечание. По определению полагают 0!=1.
Сочетаниями называют множества, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из k элементов по т определяется формулой
. (1.6)
Замечание. По определению полагают .
Размещениями называют множества, составленные из п различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяется формулой
. (1.5)
Замечание 3. Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
. (1.5)
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов т способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+ n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана т п способами.
Примеры решения задач
1.1. В урне 20 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 5 красных и 15 синих. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется красным?
Решение. Испытание состоит в том, что извлекается один шар. Испытание имеет 20 равновозможных элементарных исходов. Событие – извлеченный шар оказался красным. Этому событию благоприятствуют 5 исходов испытания. В соответствии с формулой (1.2) получаем
.
1.2. Из слова «автоматика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква «а»?
Решение. Так как буква выбирается наудачу, то все исходы испытания равновозможны. Событие – выбранная буква есть буква «а». В слове «автоматика» 10 букв, из них 3 буквы «а». Следовательно, .
1.3. В лотерее 1000 билетов. На два билета падает выигрыш по 500 руб., на четыре билета – выигрыш по 200 руб., на десять билетов – выигрыш по 100 руб., на 50 билетов – выигрыш по 50 руб., на 100 билетов – выигрыш по 10 руб., на 200 билетов – выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 50 руб.?
Решение. Испытание состоит в том, что извлекается один билет. Так как билет вытягивается наудачу, то все исходы испытания равновероятны и, кроме того, они несовместны. Число возможных исходов испытания равно 1000. Событие А – выигрыш по билету не менее 50 руб. Этому событию благоприятствуют 2+4+10+50=66 исходов испытания. Следовательно, искомая вероятность равна .
1.4. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность того, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 10 очков.
Решение. В этом испытании всего равновозможных элементарных исходов. Событие – сумма очков на верхних гранях кубиков равна 10. Этому событию благоприятствуют 3 исхода: (4;6),(5;5),(6;4), поэтому
.
1.5. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, Л, Б, Т, Е. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БИЛЕТ?
Решение. Из пяти различных элементов можно составить перестановок. Всего равновозможных исходов будет 120, а благоприятствующих данному событию – один. Следовательно, .
1.6. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?
Решение. Событие – «среди пяти выбранных билетов два выигрышных». Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 5 билетов из 50, т.е. числу сочетаний . Определим число исходов, благоприятствующих событию А. Два выигрышных билета из восьми выигрышных можно взять способами, при этом остальные 5–2=3 билета должны быть не выигрышными и их взять из 50–8=42 не выигрышных билета можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
.
1.7. В цветочном магазине в вазе стоят 15 красных, 9 розовых и 6 белых роз. Наугад вынимают 6 роз. Какова вероятность того, что вынуты 1 белая, 2 розовых и 3 красных розы?
Решение. В вазе всего 30 роз. Число всех равновозможных элементарных исходов будет . Событие состоит в том, что из шести вынутых из вазы роз одна будет белой, две розовые и три красных розы. Одну белую розу из шести можно выбрать способами, две розовые розы из 9 можно выбрать способами, три красных розы из 15 – способами. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию А, будет . Тогда искомая вероятность равна
.