26. Сведение системы из n-уравнений к одному уравнению n-го порядка

Дифференцируем первое уравнение:

Обратная задача:

Вводим вектор:

Матрица системы:

27. Решение систем общего вида

(матрицы, которые не приводятся к диагональному виду).

найти

можно привести к Жорданову виду.

- Жорданова форма

- Жордановы клетки

Надо уметь находить exp от Жордановой клетки.

Лемма: Если (матрицы А и В коммутируют), то

Доказательство:

чтд.

и коммутируют

- диагональная матрица, - нильпотентная

Проблема

Т – матрица из собственных и присоединенных векторов.

Пример.

- собственный вектор

Пример

1 собственный вектор

28. Решение неоднородных систем

1. Вариация произвольной постоянной

2. Метод неопределенных коэффициентов

3. Система

1. Решение однородной системы:

2. Решение неоднородной системы:

- общее решение

Пример

Ответ:

Пример

Теорема о существовании единственности (тсе)

Теорема (Для одного уравнения 1-го порядка)

Пусть функция и непрерывны в некоторой области , тогда для любой точки задача Коши:

имеет единственное решение.

Замечание: найденное решение находится локально (решение задано на малом интервале, содержащем точку , некоторое .

Доказательство:

1) сведение задачи Коши к интегральному уравнению.

Теорема. Задача Коши эквивалентна интегральному уравнению: ,

y(x) – неизвестная функция.

Доказательство: : проинтегрируем дифференциальное уравнение.

: дифференцируемое интегральное уравнение: , получили дифференциальное уравнение.

Проверим начальные данные:

-начальные данные

2) Применение метода последовательных приближений.

Определим отображение Пикара:

Рассмотрим итерации отображений Пикара: - тождественный оператор ( )

и т.д.

Можно взять первое приближение: , рассмотрим …

Оказывается, последовательность этих операторов сходится к задаче Коши и интегральному уравнению.

3. Теорема Банаха (о неподвижной точке)

X – метрическое пространство (в нем задана метрика - расстояние).

Определение:

Отображение называется сжатым, если , что для любых точек

Теорема Банаха.

Сжатое отображение полного метрического пространства имеет единственную неподвижную точку (т.е. существует единственное такое, что ).

Доказательство.

В полном отображении нет пустот. Возьмем любую точку . Рассмотрим последовательные образы нашей точки:

Оказывается, что сходится как раз к неподвижной точке.

Оценим расстояние при больших номерах n и m:

Вывод: следовательно, последовательность фундаментальна, следовательно, в полном пространстве сходится

Проверим, что - неподвижная точка

Единственность: пусть две неподвижные точки

4. Применение теоремы Банаха отображением Пикара.

Определим 2 const.

Возьмем столь малое: обозначим большее число:

Определим метрическое пространство функций, заданных на отрезке таких, что , обозначим это пространство: X (это метрическое пространство).

Для применения теоремы Банаха, надо проверить, что:

отображение Пикара действует из x в X

что сжатое - непрерывная функция заданная на

по теореме о конечных приращениях:

Надо проверить:

Теорема о конечных приращениях.

Возьмем таким малым, чтобы

Значит, имеем: метрическое пространство, в нем действует отображение Пикара, следовательно, имеем единственную неподвижную точку.

y – решение интегрального уравнения, следовательно решили задачу Коши.

Предложение решений.

Решение задачи Коши.

Задана в области может быть продолжена до границы области G.

Пример.

график

Проверка:

начальные данные

- решение заданное на интервале ( )

Возьмем точку на кривой (решении) и еще раз решим задачу Коши.

На общей области определения оба решения совпадают, т.о. решение может продолжаться до границы области. Продолжая мы дойдем до точки , если точка не лежит на границе а внутри, можно снова применить задачу Коши, следовательно наше предположение не верно.

Непрерывная и дифференцируемая от начальных данных и от параметров

Цель:

На некотором промежутке изменений переменных.

Надо повторить всю процедуру с отображением Пикара.

Линейные системы.

Теперь А=А(х) переменная матрица.

Теорема.

Множество решений линейной системы является линейным пространством размерности n.

Доказательство.

Х – множество решений ,линейное пространство

Рассмотрим линейный оператор

В – изоморфизм, т.е.:

сюрьективно

нулевое ядро

В виду того, что существует решение задачи Коши

Для каких

По теореме о единственности

Базис пространства решений состоит из n-векторов функций. Этот базис называется фундаментальной системой решений.

- общее решение.

- фундаментальная матрица решений (матрициант).

Матрициант тоже удовлетворяет:

- невырождена.

Определитель этой матрицы носит название матрицы Вронского.

Формула Луивилля.

- система дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Доказательство:

1)A=const матрицы

Матрициант

Приведем матрициант к жордановой форме:

Доказательство:

формула Лиувилля в общем случае

Пусть – фундаментальная матрица

Рассмотрим приращение фундаментальной матрицы:

Возьмем определители от обоих частей матрицы:

Будем считать с точностью до

Решение неоднородных систем.

(1)

Решение:

Решается неоднородная система:

- фундаментальная матрица

, где С вектор константа

Решение неоднородной системы будем искать в таком же виде, но

постоянная функция, а не постоянный вектор

Подставим в систему (1):

,

где невырожденная матрица

или в другом виде:

Случай уравнения n-ого порядка

Если - ФСР для уравнения то:

-фундаментальная матрица.

- определитель Вронского

Формула Лиувилля:

Неоднородные уравнения:

(надо взять только первую строку матрицы)

Элементы условия устойчивости.

Автономные системы дифференциальных уравнений:

, где

- вектор, - вектор функции.

Неавтономные системы дифференциальных уравнений:

Повышая размерность неавтоматизированную систему можно привести к автономному виду.

Вводим новый вектор:

Вектор – функция называется векторным полем.

График

График решения называется интегральной кривой.

Образ графика в называется фазовой кривой

График(интегральная кривая и фазовая кривая)

Решить задачу Коши, это значит найти такую фазовую кривую, проходящую через заданную точку.

Фазовая кривая имеет касательный вектор, совпадающий с векторным полем в данной точке

Утверждение: Различные фазовые кривые не пересекаются это следует из ТСЕ

Виды фазовых кривых:

точка

гладкая кривая без самопересечения

замкнутая фазовая кривая – цикл

График

Определение: точки, в которых - точки самопересечения (или покоя)

Если , то фазовая кривая представляет собой точку

Любая фазовая кривая гладкая

- фазовая кривая,

В данной системе два касательных вектора совпадают:

График График

В этом месте нарушается ТСЕ.

Вывод: гладкая кривая не может пересекаться.

Теорема о выпрямлении векторного поля.

График

Рассмотрим две основные точки:

График

- непрерывна

Вывод: зная положение равновесия можно восстановить поведение фазовых кривых, так как окрестности не особых точек поле параллелезуемо.

Пусть не является положением равновесия , тогда существует невырожденная замена координат , что в новых координатах, векторное поле постоянно и система выглядит так:

График

Замена координат.

Локально:

График График

График

Пусть точка близкая к может лежит на фазовой кривой с декартовыми координатами . Возьмем первую координату точку пересечения фазовой кривой и прямой , обозначим ее . Фазовая кривая:

,

Проходящая через точку в момент

Вторая координата

В новых координатах векторное поле постоянно

Для того чтобы проверить не…….!!!!! Надо подсчитать якобиант перехода одних координат в другие.

Достаточно найти в точке

,

В ближайших точках. В точке координаты совпадают

В точке координаты равны.

Исследование положения равновесия.

Определение: Положение равновесия является устойчивым (по Ляпунову), если для , то для фазовой кривой, проходящей через точку , для

График

Определение: Положение равновесия является асимптотически устойчивой если:

устойчиво по Ляпунову

График

Функция Ляпунова.

Квадратичная форма

-квадратичная форма

-положительно определенная

Если

положительно полу определена на , если

Производная Ли

(производная в силу векторного поля)

Пусть в

– векторное поле в

– система дифференциальных уравнений

- фазовая кривая

Рассмотрим сложную функцию

График

Обычная производная функции называется производной Ли в силу векторного поля

Раньше :

не убывает вдоль фазовых кривых

Квадратичная форма называется функцией Ляпунова для векторного поля в окрестности если:

1) положительно определенная

2) отрицательно полуопределенная

Теорема (Ляпунова об устойчивости).

Пусть - векторное поле, - положение равновесия, - устойчиво, если в окрестности точки найдется функция Ляпунова.

Доказательство:

Считаем, что , то фазовая кривая, проходящая через точку , не выйдет за круг радиуса .

Пусть найдена функция Ляпунова.

Фиксируем:

Подберем такое , чтобы было меньше чем ( , при ). Пусть . Рассмотрим фазовую кривую, проходящую через точку . У функции производная Ли: , значит не возрастает вдоль фазовых кривых, , где

, что противоречит выбору . Фазовая кривая не может выйти за пределы круга.

Теорема (Ляпунова об асимптотической устойчивости)

Положение равновесия асимптотически устойчиво, если для функции Ляпунова выполняются строгие неравенства:

Доказательство:

(Надо )

убывает вдоль фазовых кривых

, то есть

Доказано.

Покажем, что такого быть не может. Кроме того

График

Проинтегрируем неравенство:

Причем при стремиться к , что противоречит условию, что .

Устойчивость линейных систем.

Векторное поле:

Матрица A не вырождена -единственное положение равновесия.

Теорема.

асимптотически устойчиво (вещественное значения собственных чисел больше нуля), устойчиво, если и нет кратных собственных значений. Во всех остальных случаях положения равновесия не устойчивый узел, фокус, седло.

Доказательство№1:

(используем явный вид решения)

Общее решение системы имеет вид:

если все , быстрее чем любой многочлен, следовательно устойчиво асимптотически.

нет кратных для тех , для которых

То решение не удаляется от положения равновесия, то есть устойчиво по Ляпунову.

- не устойчиво

при есть кратное.

В разложении матрицы есть экспонента от Жордановой клетки, соответственно:

-

Неограниченна, следовательно, нет никакой устойчивости.

Доказательство№2:

(с построение функции Ляпунова)

Построим функцию Ляпунова:

над полем С

- тоже квадратичная форма (для устойчивости необходимо, чтобы форма была отрицательно-определенной)

Приведем матрицу к Жорданову виду: где

_{Перейдем к базису из собственных векторов:}

_{Лемма (о привидении матрицы к диагональному виду)}

_{- невырожденная,}

_{Доказательство:}

_{Пусть привели матрицу А к Жорданову виду:}

_{Выберем новый базис:}

_{- некоторое, достаточно большое число}

_{- матрица перехода}

_{Преобразованная матрица:}

_{Продолжаем доказательство теоремы:}

График

График

_{Если :}

_{Выберем , тогда:}

Выполнены все условия теоремы Ляпунова Об асимптотической устойчивости.

Теорема об устойчивости по линейному приближению.

ВИКА!!!!!!

Следствие: если неустойчивость , то неустойчиво для исходной системы

График

В случае чисто ??????? собственного значения теорема по линейному приближению не работает.

Доказательство (с построением функции Ляпунова):

В качестве функции Ляпунова возьмем:

- положительно-определенная

- отрицательно-определенная

(по лемме из прошлой лекции)

Матрица А имеет почти диагональный вид. можно переписать:

_{отрицательно определенная.}

_{Модель хищник жертва.}

_{- жертва (отклонение от среднего)}

_{- хищник}

График

_{Перейдем к полярным координатам:}

_{- положение равновесия}

График

_{неустойчивый фокус}

График

_{Фазовая кривая называется предельным циклом, если в окрестности нет других предельных циклов и любая другая фазовая кривая, которая проходит через точку в некоторой окрестности этого предельного цикла приближается к нему неограниченно при или}

_{Если это приближение происходит при , то предельный цикл называется устойчивым, если при - неустойчивым.}

_{Приложение к механике.}

_{Закон Ньютона.}

_{- координата, - сила, - скорость, - расстояние, - скорость,}

_{тогда получим систему дифференциальных уравнений:}

_{Кинетическая энергия:}

_{- потенциальная энергия}

_{- энергия (полная энергия)}

_{Закон сохранения энергии.}

_{При движении по фазовой кривой:}

_{Вывод: фазовые кривые не расходятся только на уровнях энергии.}

График

_{Уравнение математического маятника.}

_{- потенциальная энергия}

_{- линии уровня окружности}

_{Линии энергии окружности}

График

_{Уравнения перевернутого маятника.}

_{Линии уровня гиперболы.}

График

_{Критические точки для потенциальной энергии .}

_{Критические точки полной энергии:}

_{То есть точки полной энергии это как раз положение равновесия системы:}

_{Полная энергия всегда больше потенциальной.}

_{Если возрастает, то убывает, если убывает, то возрастает.}

График

График

_{Для того чтобы правильно строить линию уровня нужно исследовать критические точки потенциальной энергии.}

_{Утверждение 1.}

_{Если , то линии уровня:}

_{гиперболы}

_{эллипсы}

_{Утверждение 2.}

_{Если уровень энергии не совпадает с критическим, то линия уровня гладкая кривая}

_{- критическая}

_{, то критический уровень энергии.}

_{Доказательство:}

_{По теореме о неявной функции из равенства выражаем одну из переменных через другую (гладким образом)}

_Лемма.

_{Пусть - невырожденная критическая точка функции , , , тогда существует гладкая замена координат, в которой приращение функции имеет квадратичный вид}

_{Доказательство:}

_{Следствие.}

_{В окрестностях критических точек потенциальной энергии линии уровня диффеаморфны,!!!! Либо эллипсам, либо гипереболам.}

_{Утверждение 3.}

_{Если значение энергии не совпадает с критическим значением энергии, тогда линии уровня состоят из конечного счетного числа замкнутых гладких кривых и не более чем двух гладких (незамкнутых) кривых}

_{Доказательство:}

График

_{Рассмотрим множество , что поскольку - непрерывная, то это множество состоит из не более чем счетного количества отрезков}

_{- уравнение с разделяющимися переменными}

_{Проинтегрируем от до}

_{найдено но не в явном виде. Приблизим к точке (не является критическим значением, интеграл сходится)}

_{Раз сходится интеграл то в левой части тоже конечно и значит линии уровнясостоят всего из 1-ой кривой}

График

_{По этому на линии уровня укладывается ровно одна фазовая кривая. Причем для отрезков получаем периодичные фазовые кривые (циклы). Лучу соответствует незамкнутая фазовая кривая.}

_{Значения энергии совпадают с критическими значениями потенциальной энергии.}

График

График

_{Надо выяснить, что происходит когда .}

_{Рассмотрим:}

_{Фазовая кривая подходит к точке за бесконечно время или уходит за бесконечно время.}

График

График

_{Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений.}

_{- аналетична в окрестности точки . Если раскладывается в ряд:}

_если

_{аналетична, следовательно, и аналетична ее производная на:}

_{Теорема}

_{Пусть , где - аналетические, тогда решение этого уравнения тоже аналетично.}

_{Доказательство}

_{Разложим в ряды}

_{Решение (если существует аналетическое решение) имеет вид:}

_{Прировняем коэффициенты при одинаковой степени - получим какие-то алгебраические уравнения. Из этих уравнений последовательно найдем коэффициенты.}

_{Первые коэффициенты мы можем задатьпроизвольно}

_{Пример:}

_{Обозначим}

_{………………………}

_{Другая задача Коши:}

_{Общее решение:}

_{Особые точки}

_{Уравнение Эйлера}

87