- •Содержание
- •1. Введение
- •Определение
- •2. Задача Коши – решение дифференциального уравнения, так что выполняется начальные условия
- •Определение
- •5. Линейные уравнения
- •6. Нахождение частного решения оу Метод Бернулли
- •7. Задачи
- •8. Уравнения в полных дифференциалах
- •Определение
- •14. Огибающее семейство кривых Определение
- •Теорема
- •Теорема
- •19. Решение неоднородных уравнений
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •20. Метод неопределенных коэффициентов
- •21. Определитель системы - определитель Вронского
- •22. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
- •23. Дискретные задачи. Задачи с дискретным временем. (Рекуррентные последовательности)
- •24. Гармонические колебания
- •25. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •26. Сведение системы из n-уравнений к одному уравнению n-го порядка
- •27. Решение систем общего вида
- •28. Решение неоднородных систем
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Теорема о существовании единственности (тсе)
14. Огибающее семейство кривых Определение
Если - уравнение семейства кривых, то кривая - называется огибающей для семейства кривых, если каждая кривая каксается другой кривой из семейства.
Как найти огибающие?
Фиксируем точку (х,у), через эту точку проходят 2 кривые и , перемещаясь вдоль огибающей получим, что .
Получаем тождество:
для точек огибающей.
Продифференцируем по х
0
В этой точке можно дифференцировать кривую семейства, на ней
Получим систему:
Итак, для уравнения огибающей надо решить систему.
15. Уравнение Клеро
, где - известно.
Метод параметра:
- общее решение.
- еще одно решение (особое)
- особое решение.
|
- огибающее решение |
- общее решение
16. Ортогональные траектории
Надо найти семейство кривых которые в каждой своей точке ортогональны соответствующей кривой из
Составим дифференциальное уравнение , для семейства .
В уравнении заменяем получим . Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Общее решение - уравнение ортогональных траекторий.
Пример
2.
3.
- ответ
17. Уравнения высших порядков
1) ; надо n-раз проинтегрировать
2) надо пытаться получить порядок интегрирования
Из 1-го уравнения 2-го порядка, получаем 2 уравнение 1-го порядка
3) (явно отсутствует «x»)
Введем новую функцию
Новая переменная
18. Линейные уравнения n-го порядка
(ЛНУ)
функции от
(ЛОУ)
Можно определить линейный дифференциальный линейный оператор
1)Если решаем однородное уравнение
То есть ищем ядро оператора
1) - линейное пространство
2) - размерность
По ТСЕ решение уравнения зависит от n произвольных постоянных
Пусть базис
Базис называется фундаментальной системой решений (ФСР).
Если решаем неоднородное уравнение ;
Мы должны уметь обращать оператор
Надо подобрать какое-нибудь (частное решение)
Пусть это будет , тогда общее решение этого же уравнения
- структура общего решения ЛНУ
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами
С каждым дифференциальным оператором связок характеристический полином.
где - корни.
Аналогично разложим дифференциальный оператор на множители
Пример
- решение
- общее решение
Вывод: если - корни характеристического полинома, то - решения ЛОУ
а) предположим, что все корни различны, тогда все - различные функции (если они линейно независимы, то образуют ФСР)
- общее решение ЛОУ.
Теорема
Пусть и различны, - линейно независимы.
Доказательство:
От противного, (не все равные нулю)
Пример
4)Кратные корни
- решение, но некоторые из них совпадают и не могут быть линейно зависимыми.
не все решения.
Пусть - корень кратности
Пример
Теорема
Если - корень кратности , решением уравнения , является функция
Доказательство:
По индукции, что верно при докажем, что верно при .
Пусть - корень кратности
аналогично для дифференциального оператора.
по предложению индукции
- линейное уравнение первого порядка.
Решение этого уравнения имеет вид:
Комплексные корни.
Если комплексный корень
если уравнение с вещественными коэффициентами тоже с вещественными коэффициентами.
Комплексные корни входят парами
является решением
Вместо этих двух мы возьмем пару линейно независимых функции.
Лемма
Если линейный дифференциал имеет вещественные коэффициенты и решение (комплексное) ; - тоже решение.
решение
Замечание:
Комплексные кратные корни, если имеет корень кратности , тоже кратности
по ним записываем общее решение.