- •Содержание
- •1. Введение
- •Определение
- •2. Задача Коши – решение дифференциального уравнения, так что выполняется начальные условия
- •Определение
- •5. Линейные уравнения
- •6. Нахождение частного решения оу Метод Бернулли
- •7. Задачи
- •8. Уравнения в полных дифференциалах
- •Определение
- •14. Огибающее семейство кривых Определение
- •Теорема
- •Теорема
- •19. Решение неоднородных уравнений
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •20. Метод неопределенных коэффициентов
- •21. Определитель системы - определитель Вронского
- •22. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
- •23. Дискретные задачи. Задачи с дискретным временем. (Рекуррентные последовательности)
- •24. Гармонические колебания
- •25. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- •26. Сведение системы из n-уравнений к одному уравнению n-го порядка
- •27. Решение систем общего вида
- •28. Решение неоднородных систем
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Теорема о существовании единственности (тсе)
19. Решение неоднородных уравнений
Метод неопределенных коэффициентов
- квазиполином;
Сумма полиномов
Частное решение уравнения мы ищем в правой части только с известными коэффициентами.
Пример.
- частное решение
Квазиполеном
Находим частные решения для каждого слагаемого отдельно
, характеристическое число
Проверяем, является ли характеристическое число корнем характеристического уравнения, кратность корня равна .
Ищем частное решение уравнения в виде .
Пример
1)
Характеристический полином:
- общее однородное
2)
Характеристическое число
Кратность
3)
Кратность
Общее решение неоднородного уравнения
Пример
Кратность
20. Метод неопределенных коэффициентов
Метод Лагранжа решения ЛОУ
( - производная функция)
ЛОУ
ФСУ
2) , где - теперь уже не , а функции, которые надо найти (требуется).
, предположим, что
;
;
(получим (n-1) уравнение на функции )
, так как - решение однородного уравнения.
- линейная система относительно
21. Определитель системы - определитель Вронского
Пример
Ответ:
или:
22. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
1)
ЛОУ
Если найти решение как-то (?).
Нет характеристического уравнения
2)Метод вариации
Частный случай.
Уравнение Эйлера
При помощи замены можно привести уравнение Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.
ФСР для исходного уравнения состоит из функций:
Пример.
1) Решение в виде
Определяющее уравнение на
- решения (линейно независимые, следовательно, имеют ФСР)
Ответ:
23. Дискретные задачи. Задачи с дискретным временем. (Рекуррентные последовательности)
- рекуррентная последовательность -го порядка.
Последовательность Фибоначчи:
- характеристическое уравнение
24. Гармонические колебания
- закон Ньютона
- закон Гука
- дифференциальное уравнение 2-го порядка.
- уравнение гармонических колебаний.
Метод вспомогательного угла:
- амплитуда
- начальная фаза
2) Если есть сопротивление (сила трения), сила трения направлена против движения
- зависит от силы трения.
Уравнение в среде с трением
а) (трение велико)
При большом сопротивлении нет колебаний
Были рассмотрены уравнения свободной системы.
Колебания с вынужденной силой периодически воздействующей на систему
3’) (нет трения)
а)
и - соизмеримы (получим периодическую функцию)
и - не соизмеримы (не периодическую функцию)
- маятник Фуко
( совпадает с корнем )
(появилось явление резонанса)
Амплитуда колебаний неограниченно возрастает при
3”) Есть трение
- мнимое
- вещественное
- чисто мнимые
Явление резонанса в системе с трением не бывает
25. Система линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Векторный вид
Нахождение экспоненты от матрицы.
Определение.
- ряд сходится.
(сходимость обеспечена делением на n!)
Если матрица не диагональная, то это не так.
Если А матрицу привести к диагональному виду
( - диаг.)
Как дифференцировать ? Как ряд.
Теорема: Решение системы задается формулой - общее решение.
Доказательство (проверка):
Пример
Т – состоит из собственных векторов