2. Определение напряжений

При растяжении (сжатии) справедлива гипотеза Бернулли: Поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации (Рис. 7).

Продольная сила N есть равнодействующая нормальных напряжений в поперечном сечении: . Поскольку σ = const  N = σ ·S  – формула для определения напряжений при растяжении (сжатии).

l l₁

Δ l

F F

b b₁

N

σ

F

Рис.7. Гипотеза Бернулли

Формула справедлива как для растяжения, так и для сжатия, с той лишь разницей, что сжимающее напряжение считается отрицательным.

Для наглядного представления изменения напряжения по всей длине бруса строят эпюры нормальных напряжений (Рис. 6б). Для этого проводят линию параллельную оси бруса, на неё переносят начало и конец бруса, точки приложения всех сил, сечения, где изменяется площадь стержня. По формуле σ = N / S последовательно определяются значения напряжений на каждом участке бруса.

σ ₁ = N₁ / S = 20·10 ³ / 1·10 ^{– 4}= 20 ·10 ⁷ = 200 · 10 ⁶ = 200 МПа

σ₂ = N₂ / S = - 20·10 ³ / 1·10 ^{– 4} = - 20 ·10 ⁷ = - 200 · 10 ⁶ = - 200 МПа

Полученные данные откладываются в определенном масштабе на каждом участке: положительные – выше нуля, отрицательные – ниже.

3. Определение деформаций и перемещений

Для растяжения (сжатия) справедлив закон Гука:

σ = Е · (опытная зависимость), где:

Е – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода), зависит от материала (определяется по справочной литературе), например для стали Е = 2·10⁵ Н/мм²= 2·10¹¹Н/м²;

 =  l / l - продольная деформация, l - изменение длины элемента конструкции, если со знаком «+» - удлинение, если со знаком «-» - укорочение. Существует также поперечная деформация ^′=S / S, т.е. отношение изменения размера (площади) S = S - S₁ поперечного сечения к его первоначальному значению S); Между  и ^′существует зависимость: ^′= -  · , где  = ^′/  - коэффициент Пуассона, характеризующий способность материала к поперечной деформации. Коэффициент изменяется в пределах 0    0,5.  = 0,00 для пробкового дерева,  = 0,47 – для каучука;  = 0,5 – для парафина.

Зная, закон Гука, а также что  = l/l , а σ = N / S, можно получить формулу для определения абсолютного удлинения (укорочения) стержня l:

l =  · l = (σ · l) / Е = (N · l) / (Е · S), т.е. , где произведение Е·S характеризует жесткость сечения.

Таким образом, абсолютное удлинение (укорочение) бруса l прямо пропорционально N, l и обратно пропорционально жесткости сечения бруса Е·S. Абсолютное удлинение бруса, состоящего из нескольких участков, имеющих различную длину, площадь, материал, нагрузку определяется как сумма удлинений этих участков: l= ∑ l_i.

Для наглядного представления возникающих в стержне деформации, строят эпюру удлинений l (эпюру перемещений поперечных сечений стержня λ).

Построение эпюры l начинается от жёсткой заделки, т.к. перемещение в жёсткой заделке равно нулю. Например (Рис.6в): Перемещение точки А: λ_А = 0;

Перемещение точки В равно удлинению участка АВ: λ_В= l_АВ= N₂l/ЕS=

=(-20·10³·0,1)/2·10¹¹·1·10 ^{– 4}=-0,1· 10 ^-4м = -0,1· 10 ^-4·10 ³= -0,01мм

Перемещение точки С определяется как: λс = λ_В + l_ВС =-0,01+ N₁l/ЕS=-0,01 + ((20·10³·0,2)/2·10¹¹·1·10 ^{– 4}) ·10 ³=-0,01 +0,02 = 0,01мм