Лекция 6 Геометрические характеристики сечения

План

1. Статический момент сечения

2. Моменты инерции сечения

3. Моменты инерции простых сечений

4. Моменты инерции сложных фигур. Главные оси инерции и главные моменты инерции

1. Статический момент сечения

При дальнейшем изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости, нам придется иметь дело с некоторыми геометрическими характеристиками сечения: статическими моментами, моментами инерции, моментами сопротивления.

Y y ds S

ρ x

О

X

Рис. 24.

Статическим моментом S_Х сечения (фигуры) относительно какой-либо оси Х называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида:

(или статическим моментом плоского сечения относительно оси Х называется взятая по всей площади сечения сумма произведений сумма произведений площадей элементарных площадок ds на их расстояние y до этой оси(Рис. 24)). Статический момент измеряется в [см³] , может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

По известной из теоретической механики теореме о моменте равнодействующей можно записать: , где S – площадь всей фигуры, y_с – расстояние от центра тяжести фигуры до оси Х. Из этой формулы - определение ординаты центра тяжести фигуры. Аналогично можно определить абсциссу x _с относительно оси Y:

Центр тяжести обладает свойством: если тело опереть в этой точке, то оно будет находиться в равновесии.

2. Моменты инерции сечения

Осевым (экваториальным) моментом инерции сечения называетя геометрическая характеристика, численно равная интегралу: (или осевым моментом инерции плоского сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси). Всегда положительна, может быть равна нулю.

Полярным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида: , где ρ – расстояние от площадки ds до точки 0 – полюса. Всегда положительна, может быть равна нулю.

Полярный момент инерции можно представить как , т.е. как сумму осевых моментов инерции.

Центральным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида: . Измеряется в [см⁴], может быть положительной, отрицательной. Если взаимно перпендикулярные оси Х и У, или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю.

3. Моменты инерции простых сечений

1. Прямоугольник (Рис. 25):

Y

h y dy

X

b

Рис. 25.

Вычисляем J_x . За ds примем ds = b ∙ dy . Высота элементарной площадки изменяется от (- h/2) до (+h/2). Следовательно

Моменты инерции относительно главной оси называются главными моментами инерции и имеют экстремальные значения: относительно одной – максимум, относительно другой – минимум. Можно записать

2. Квадрат. Если стороны квадрата обозначить b = h = a, тогда

3. Круг (рис. 26). Выделим элементарную площадку радиусом ρ, её толщину обозначим dρ. Сначала определим J_р : , а , тогда

.

J_р можно представить как:

, где .

Y

dρ dρ

X

d

D = 2r

Рис. 26.

4. Кольцо (Рис. 26).

5. Треугольник. , трапеции к ВДЕ