8. Метод сечений

В случае необходимости найти внутренние силы (силы упругости) в каком-либо сечении тела, в сопротивлении материалов применяется метод сечений (Рис. 4), который заключается в следующем:

1. Разрезаем мысленно систему (тело) плоскостью на две части;

2. Отбрасываем одну часть;

3. Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся внутренними силами упругости (приложим в сечении усилия, способные уравновесить внешние силы, действующие на отсеченную часть);

4. С оставляем уравнение равновесия для отсеченной части и находим значения усилий.

F₂ F₁

F₂

F₁

N ₁ F₁

_ось Х

∑F_ix = 0; - N ₁ + F₁ = 0; F₁ = N ₁

Рис. 4. Метод сечений

Если все внешние силы, действующие на тело, расположены в одной плоскости, то в общем случае в поперечном сечении для их уравновешивания необходимо приложить три внутренних усилия:

- продольную силу N, направленную вдоль оси стержня;

- поперечную силу Q, действующую в плоскости поперечного сечения;

- изгибающий момент M_изг, плоскость, действия которого перпендикулярна плоскости сечения.

Если система пространственная, то в поперечном сечении возникает 6 внутренних усилий: N, Q _y ,, Q _z,, M_{изг. y} , M_{изг. z} и Т - крутящий момент, действующий в плоскости поперечного сечения.

Если в поперечном сечении возникает:

- сила N - это растяжение (сжатие);

- сила Q _y (Q _z) – сдвиг (срез);

- крутящий момент Т – кручение;

- изгибающий момент M_{изг. y} (M_{изг. z}) – изгиб;

- несколько усилий, например M_{изг. y} и Т – сложное сопротивление.

Если число неизвестных усилий равно числу уравнений равновесия, система называется статически определимой, если же число неизвестных усилий больше числа уравнений – статически неопределимой.

9. Напряжения

Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил. Тело рассечено плоскостью и в этом сечении в рассматриваемой точке выделена малая площадка S, её ориентация в пространстве определяется нормалью площадки n. Определим среднюю интенсивность сил P_m на площадке, т.к. в общем случае внутренние силы непрерывно и неравномерно распределены по этой площадке.

P_m= F / S

где F – равнодействующая сил, приложенных к площади S.

Предполагая, что выделенная площадка бесконечно мала (представляет собой точку), получим: или в МПа = 1 · 10⁶ Па = 1 Н/мм² .

F F S

σ

n n

F F F τ P

Рис. 5. Напряжения

Вектор Р выражает полное напряжение на данной площадке, его можно разложить на составляющие σ – нормальное напряжение (перпендикулярно плоскости сечения и τ – касательное напряжение (лежащее в плоскости сечения).

Р² = σ²+ τ²  (по теореме Пифагора)

Условимся считать σ со знаком «+» растягивающим нормальным напряжением, σ со знаком «-» сжимающим нормальным напряжением.