- •Лекция № 1 Основные понятия и определения
- •Знакомство с учебной программой
- •Рекомендуемая литература по предмету
- •3. Предмет, содержание и задачи курса, связь с другими предметами
- •4. Классификация тел
- •5. Основные допущения, принимаемые в курсе «Сопротивление материалов»
- •6 . Классификация внешних сил
- •7. Деформации и перемещения
- •8. Метод сечений
- •9. Напряжения
- •Физический смысл разложения р на σ и τ :
- •Лекция №2 Растяжение и сжатие
- •Понятие о деформации растяжения и сжатия. Определение внутренних усилий
- •2. Определение напряжений
- •3. Определение деформаций и перемещений
- •4. Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней
- •Лекция 3 Опытное изучение свойств материалов
- •Назначение и виды испытаний.
- •Основные механические характеристики, определяемые при испытаниях материалов:
- •2. Диаграммы растяжения
- •3. Диаграммы сжатия
- •4. Коэффициент запаса прочности
- •Лекция 4 Сложное напряженное состояние
- •1. Понятие напряженного состояния в точке
- •2. Виды напряженного состояния
- •3. Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) в одном направлении
- •, Следовательно (3).
- •Выводы:
- •4. Определение напряжений в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) в двух направлениях.
- •5. Концентрация напряжений. Контактные напряжения
- •Лекция №5 Сдвиг
- •1. Основные понятия
- •2. Напряженное состояние и деформации при чистом сдвиге
- •3. Практические расчеты на сдвиг
- •При расчетах принимаются основные допущения:
- •Лекция 6 Геометрические характеристики сечения
- •1. Статический момент сечения
- •2. Моменты инерции сечения
- •3. Моменты инерции простых сечений
- •4. Моменты инерции сложных фигур. Главные оси инерции и главные моменты инерции
- •Лекция 7 Кручение
- •1. Понятие деформации кручения. Построение эпюр крутящих моментов
- •2. Определение напряжений
- •3. Деформации и перемещения при кручении валов
- •4. Построение эпюр угловых перемещений при кручении. Концентрация напряжений. Рациональные формы сечений при кручении.
3. Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) в одном направлении
Для полного суждения о прочности материала необходимо уметь определять напряжения, возникающие в любом наклонном сечении растянутого (сжатого) элемента (Рис. 18а). Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня σ считаем известными
n
σα α σ1 σα
τα
В
τα+π/2
σα+π/2
n1 σ1 σ1
а. б.
Рис. 18. Напряжения в наклонном сечении при растяжении (сжатии) в одном направлении
Определим напряжения, возникающие в наклонном сечении ВС, нормаль к которому повернута на угол α к направлению σ1. Обозначим S – площадь поперечного сечения стержня, а Sα – площадь наклонного сечения ВС. Тогда (1). В общем случае в наклонном сечении могут возникать σα и τα. Их значения найдем из условия равновесия отсеченной нижней части. Проецируем все силы на направление σα :
ΣΡi = 0. Если , то N = σ · S , тогда (2). Подставив формулу (1) в формулу (2), получим
, Следовательно (3).
Далее проецируем все силы на направление τ α :
(4).
Подставив формулу (1) в формулу (4), получим:
, следовательно (5).
Выводы:
1. - наибольшее нормальное напрежение возникает в поперечном сечении бруса;
2. - наибольшее τ возникает на площадке, наклонённой под углом 45˚ к оси бруса и равно половине нормального напряжения, возникающего в соответствующей точке поперечного сечения;
3. Из формулы (5) - закон парности касательных напряжений: касательные напряжения, возникающие на двух взаимно перпендикулярных пло-щадках равны по величине и противоположны по знаку, направлены к ребру пересечения площадок, либо от него (Рис. 21).
4. Определение напряжений в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) в двух направлениях.
Рассмотрим случай плоского (двуосного) напряженного состояния, когда σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0. Мы уже знаем, что индексы стоят таким образом, что выполняется неравенство σ 1 ≥ σ 2. Положительный угол α между направлением σ 1 и нормалью к произвольной площадке ВС отсчитываем против часовой стрелки. Между направлением напряжения σ2 и наклонной площадкой ВС угол равен α + π/2 (Рис. 19а). Определим σα (суммируем напряжения на наклонной площадке от действия σ1 с напряжениями от σ2) и τα (суммируем напряжения от действия τ1 с напряжениями от действия τ2) (Рис. 19б).
σα
τα
σ2 α + π/2 σα τα
σ2 σ2
В σ1 В σ1
Рис. 19. Напряжения в наклонном сечении при растяжении (сжатии) в двух направлениях
Из формулы (7) следует, что τmax = (σ1 – σ2) / 2 и имеют место в сечениях, наклоненных к σ1 и σ2 под одним и тем же углом α = 45˚, т.к. (sin2α = sin 90º =1). Для двухосного напряженного состояния также соблюдается закон парности касательных напряжений (Рис. 21).
Рассмотрим частные случаи:
Предположим, что σ1 = σ2 = σ. Определим σα и τ α.
В этом случае:
Если σ1 = σ2 = - σ, то σα = - σ. Такое напряженное состояние называют равномерным двуосным растяжением (Рис. 20а) или сжатием (Рис. 20б).
σ1 =+ σ σ1 = - σ
σ2 = σ σ2 = - σ
а. σα = + σ б. σα = - σ
Рис. 20. Двухосное растяжение и сжатие
2. Предположим также, что σ1 = σ; σ2 = 0; σ3 = - σ (или σ3 = + σ). Определим напряжения в сечениях наклонных к σ1 под углом α = 45˚, а к σ3 под углом α = 45º+π/2 = 135º. Тогда для σα и τ α получим:
Из формулы (6)
Такое напряженное состояние называют чистым сдвигом (Рис. 21).
σ1 = σ
τα τα
σ3 = - σ
τα
τα = ± σ
Рис.21. Чистый сдвиг и закон парности касательных напряжений