Гармонический анализ

Введение.

Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженеров. В результате постановки и исследования ряда конкретных проблем механики и физики возникла теория тригонометрических рядов. Важнейшую роль ряды Фурье играют во всех областях техники, опирающихся на теорию колебаний и теорию спектрального анализа. Например, в системах передачи данных для описания сигналов практическое применение спектральных представлений неизменно приводит к необходимости экспериментального осуществления разложения Фурье. Особенно велика роль тригонометрических рядов в электротехнике при изучении периодических несинусоидальных токов: амплитудный спектр функции находится с помощью ряда Фурье в комплексной форме. Для представления непериодических процессов применяется интеграл Фурье.

Тригонометрические ряды находят важное применение в многочисленных разделах математики и доставляют особенно удобные методы для решения трудных задач математической физики, например, задачи о колебании струны и задачи о распространении тепла в стержне.

§1. Периодические функции.

Многие задачи науки и техники связаны с периодическими функциями, отражающими циклические процессы.

Определение 1. Периодическими называются явления, повторяющиеся в одной и той же последовательности и в одном и том же виде через определенные интервалы аргумента.

Пример. В спектральном анализе – спектры.

Определение 2. Функция у = f(x) называется периодической с периодом Т, если f(x + Т) = f(x) при всех х и x + Т из области определения функции.

Н а рисунке период изображенной функции Т = 2.

Определение 3. Наименьший положительный период функции называется основным периодом.

Там, где приходится иметь дело с периодическими явлениями, почти всегда встречаются тригонометрические функции.

Период функций равен , период функций равен .

Период тригонометрических функций с аргументом (ах) находится по формуле:

.

Пример. Найти основной период функций 1) .

Решение. 1) . 2) .

Лемма. Если f(x) имеет период Т, то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т, не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е. = .

Основной период сложной периодической функции у = f(x) (состоящей из суммы периодических функций) – это наименьшее общее кратное периодов составляющих функций.

То есть, если f(x) = f₁(x) + f₂(x), Т₁ – период функции f₁(x), Т₂ – период функции f₂(x), то наименьший положительный период Т должен удовлетворять условию:

T = nT₁ + kT₂, где (*) –

основной период сложной периодической функции – наименьшее общее кратное чисел T₁ и T₂.

Пример. Найти наименьший положительный (или основной) период функции .

Решение. Пусть f₁(x) = , f₁(x) = . Тогда , . Подставим в (*): , отсюда . Данное условие выполняется при минимальных значениях k = 3, n = 4. Следовательно,

Примеры из фэпо.

Пример 1. Указать периодические функции с периодом 2 из представленных ниже:

1) , 2) 3) 4) .

Решение.

Пример 2. Наименьший положительный период функции равен…

Варианты ответов 1) 2) 3)

Решение.

Пример 3. Наименьший положительный период функции равен… Варианты ответов 1) 2) 3) 4)

Решение.

Пример 4. Какая из указанных функций 1) 2) 3) 4) имеет наименьший положительный период?

Решение.

Пример 5. Для периодической функции у = f(x) с периодом Т = 5 выполняется равенство: 1) f(x + 5) = f(x), 2) f(5x) = f(x), 3) f(x + = f(x), 4) f( = f(x).