Вопрос 8. Применение методов планирования для отыскания оптимальных технологических режимов.

В прикладной статистике методы обработки экспериментальных данных принято разделять на пассивные и активные. При проведении пассивного эксперимента исследователь не вмешивается в процесс функционирования изучаемого объекта. Его роль заключается лишь в том, чтобы снять информацию с функционирующего объекта и обработать ее в соответствии с принятой математической моделью объекта. Постановка активного эксперимента осуществляется по принятому заранее плану или программе. Такой эксперимент предусматривает вмешательство в разные стадии разработки и производства объекта и далее в процесс его функционирования. Чем активнее вмешательство в исследуемый процесс, тем с большей уверенностью можно ожидать извлечения из него информации, которая может быть использована для построения математической модели процесса и его управления. Оптимизация процесса начинается обычно в условиях, когда он уже подвергался некоторому исследованию, т.е. уже имеется некоторая априорная информация. На основе анализа этой информации происходит выбор границ областей изменения факторов, выбор основных уровней и интервалов варьирования для каждого исследуемого фактора. В качестве исходной точки проведенного эксперимента берут обычно ту точку факторного производства, где, по предположению, будет получен наилучший результат.

Далее определяют для каждого фактора уровни, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Уровни берутся симметрично относительно основного уровня.

Активный эксперимент состоит в том, что в каждом опыте одновременно варьируют все независимые переменные (факторы) по специальному плану.

Также, как и в пассивном эксперименте, в теории планирования эксперимента объект рассматривается как “черный ящик”, имеющий n- входов и l-выходов (многополюсник).

Входы “черного ящика” называются факторами, а выходы – параметрами оптимизации.

При активном эксперименте факторы варьируются на двух уровнях: верхнем (+) и нижнем (-). Эксперимент, в котором реализуются всевозможные неповторяющиеся сочетания уровней факторов называют полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Избыточность опытов используется для формирования планов дробного факторного эксперимента (ДФЭ).

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровням варьирования ставятся в соответствия числа: верхнему (+1), нижнему (‑1). Если каждый из факторов варьируется на двух уровнях, то необходимое число опытов N = 2ⁿ, где 2 – число уровней, n – число факторов. Реализация всех этих сочетаний – ПФЭ. Рассмотрим всевозможные сочетания уровней двух факторов х1 и х2, n=2.

Таблица 1.

х1	х2
+1	+1	P1
-1	+1	P2
+1	-1	P3
-1	-1	P4

N = 2². Строки этой матрицы называются матрицей планирования. р1, …, р4 – полученные значения параметров оптимизации.

Матрица планирования для 3-х факторов (n=3) строят, дважды повторяя матрицу планирования для 2-х факторов (табл.1) в сочетании с нижним и верхним уровнями 3-го фактора (табл.2).

Таблица 2.

х1	х2	х3
+1	-1	-1	P1
-1	+1	-1	P2
-1	-1	-1	P3
+1	+1	-1	P4
+1	-1	+1	P5
-1	+1	+1	P6
-1	-1	+1	P7
+1	+1	+1	P8

Планирование эксперимента по схеме ПФЭ применяется при получении линейной математической модели.

Для сокращения числа опытов используется ДФЭ. Эффект влияния одного из факторов зависит от уровня на котором находится другой фактор – эффект взаимодействия двух факторов (столбец х1х2 в табл.3). Взаимодействие двух факторов называют эффектом взаимодействия первого порядка, трех факторов – эффектом второго порядка. Правило сокращения числа опытов: чтобы сократить число опытов нужно новые дополнительные факторы варьировать в соответствии со столбцами, принадлежащими взаимодействиям, которыми можно пренебречь. Планирование с учетом этого правила носит название ДФЭ, а матрица планирования – дробных реплик от ПФЭ. Табл. 3 (из 4-ех опытов для изучения 3-х факторов) – полу реплика ПФЭ.

Таблица 3.

х1	х2	х3 = х1 ∙ х2
+1	-1	-1	P1
-1	+1	-1	P2
-1	-1	+1	P3
+1	+1	+1	P4

Процесс составления матрицы планирования можно показать на рис.