12. Основные методы устойчивого оценивания параметров выбороч. Совокупности.

Главный вопрос – устранять или винзорировать?

Если устранять, то уменьшается выборка и потеря объекта или периода.

Метод Пуанкаре (логический критерий)

- усеченное значение по Пуанкаре

, где - целая часть от произв-я , , где - степень засор-я (%)

Например, если в выборке объема n 2 грубые ошибки, то

, - находится по таблице

Е сли (k – предполагаемое количество грубых ошибок), то устойчивая оценка МО может быть получена по данной формуле Пуанкаре.

Винзорированная оценка МО

Среднее по Винзору:

, где - степень засорения выборки (%)

Физический смысл формулы – смотри рисунок

- устойчивая оценка МО по Винзору.

Метод Хубера

Алгоритм:

n - объем первоначальной выборки

h – функция от степени засорения выборки: (табличное значение из таблицы Хубера)

n₁ – количество наблюдений из совокупности, отличающихся наименьшим значением, т.е. число точек, для которых

n₂ – количество наблюдений из совокупности, отличающихся наибольшим значением, т.е. число точек, для которых

 - начал. оценка МО (сред. арифметическая) или уже известное МО (может быть мода или медиана)

На каждом шаге происходит разделение выборки на 3 части.

1 шаг: - определение , если оно не заданно

- выборка делится на 3 части в соответствии с вышеприведенными соображениями

2 шаг: - Получение новой оценки МО по формуле

- наименьшие значения заменяются на

- наибольшие данные заменяются на

- повтор 1го шага (деление на 3 части).

Итерации выполняются до тех пор, пока все не попадут в

Если невелика, то метод Хубера сходится достаточно быстро и дает эффективную оценку.

В многомерном случае засорением будет не отдельные значения, а вектора.

Чтобы удостовериться, что проверяемое значение является выбросом пользуются расстоянием Махаланобиса:

- вектор, подозреваемый на выбросы

Если > , то проверяемая многомерная величина Х признается грубой ошибкой или выбросом.

Каждая отдельная величина проверяется как компонента грубой ошибки.

13. Корреляционно-дисперсионный анализ многомерных количественных данных.

Исследование лин. завис-ти результирующего признака от единственной объясняющей переменной

Коэффициент детерминации (характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненную с помощью уравнения регрессии):

Коэф-ент корреляции (показатель тесноты связи):

Исследование линейной зависимости результирующего признака от нескольких переменных

Парная корреляция – измерение силы линейных связей различных пар признаков из их множества, при этом связь каждой пары находится под воздействием связей всех других признаков между собой и признаками данной пары:

Частная корреляция – измерение силы чистых линейн. связей пар признаков, при этом связи всех других признаков с признаками из данной пары не действуют, нивелированы: , где , , - алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы парных корреляций R.

Коэффициент множественной корреляции – численная характеристика силы связи отклика со всеми предикторами: R₀ = (1 - |R|/|R_j|)^1/2, где |R| - определитель матрицы парных корреляций R, |R_j| - минор к матрице парных корреляций (в матрице R вычеркивается строка и столбец, представляющие характеристики связи с j-м признаком, выступающим в качестве отклика).

Коэффициент множественной детерминации – численная характеристика доли вариации признака, объясненной вариацией всех предикторов: R₀² = 1 - |R|/|R_j| = (R₀)²

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации используется F-статистика: , где m – кол-во факторов. Если F < F_кр (степени свободы v₁ = 1, v₂ = n-m-2), то R² считается незначимым; если F > F_кр, то R² считается значимым.

Значимость лин. коэф-та корреляции проверяется на основе величины ошибки коэф-та корреляции: . Фактич. значение t-критерия Стьюдента определяется как:

В случае пар. регрессии: , следовательно, . Также существует следующая связь: . Сл-но, проверка гипотез о знач-ти коэф-тов регрессии и кор-ции равносильна проверке гипотезы о знач-ти ур-ния регрес-и.

Исследование парной нелинейной связи

К орреляционное отношение вбирает в себя идеологию коэф-та детерминации, но в случае нелин. связи.

Необходимо найти все интервалы скопления точек. Интервалов может быть . Индекс корреляции строится, если получить проекцию каждой точки на ось ординат. Очень важно то, что корреляционное отношение не обладает симметрией, т.е.: . Необходимо найти частные средние ординаты в каждом j-ом интервале:

, где - количество точек в j-м интервале.

Аналогом факторной дисперсии в случае нелин. связи явл-ся: , где

Оценка для нелинейного коэффициента детерминации (корреляционного отношения): ,

где - все отклонения по точкам:

Иногда этот коэффициент служит мерой нелинейности. Он совпадет с коэффициентом корреляции только в случае линейной связи. След. величина показывает отклонение от линейности:  = |r_yx| - |_yx|

_yx  0, при этом _yx = 0, если связь полностью отсутствует, и _yx = 1, если связь абсолютна (однозначное функциональное отображение y через x). Всегда |_yx||r_yx| (равенство только в случае линейности вязи)

Критериальная проверка:

H₀ - свидетельствует о незначимости коэф-та (равенстве нулю). Проверяется по критерию Фишера:

, , следовательно, значимость корреляцион. отношения.