1. Гауссовское (непрерывное)

m-размерность призн.пр-ва

Пр-ло: Если: 1) ∑(m*m) 2)η=(η₁…η_m)^T – независ.одном.норм.СВ 3)μ₀ЄR^m 4)м-ца А 5)ξ=Аη+μ₀, то

2. Мульти(поли)номиальный – распр-ние биномин.распр-ния на многомерн.случ.

1. Бескон.совокупн.сод. объекты l типов (l>=2) 2)υ^j_pj(n) – об.j появл.с вер. Pj в n-кратном экспер. V=( υ¹_p1(n), … , υ^l_pl(n)), их сумма=n.

X1, …, Xl – натур.числа и 0.

Билет №8. Многомерные гипотезы.

1. Общий критерий Хоттелинга:

А) ∑ изв.  H₀:X_ср~μ₀, Н₁: Х_ср≠μ₀ 

T²<T²_кр, Н₀ приним.

Б) ∑ неизв.  где К – м-ца центриров.знач.Х

2. Частный критерий Хоттелинга:

А) H₀:Xj_ср~μ_j, Н₁: Хj_ср≠μ_j 

Б) H₀:X_ср~μ₀, Н₁: Х_ср≠μ₀ (проверяем 1<l<m компонент) 

,l,m-l v1=l, v2=n-l-1,

Доверительные области:

1. Общий критерий Хоттелинга:

А)∑изв 

Б) ∑неизв. 

2. Частный критерий Хоттелинга:

)^0,5; )^0,5]

В учебнике:

Билет №9. Критерий Хоттелинга для двух многомерн.выборок (n1≠n2)

1. Общий критерий Хоттелинга:

H₀: M[ξ₁] = M[ξ₂]

- объединенная матрица, K1 – м-ца центриров.знач.

, то Н₀ приним.

2. Частный критерий Хоттелинга:

Билет №10. Критерий Бартлетта.

1. Одномерный критерий:

- объем выборки i, n=n1+…+nl

С < 1 – коэффициент, связывающий степени свободы, если С < 1 - критерий не работает

Н₀ принимается.

2. Многомерный критерий:

n_i – объем i-й выборки; h_i = n_i – 1;

K_i – матрица центрированных значений

, В по мод.<1. Н₀ принимается.

Билет №11. Методы выявления грубых ошибок.

1. Критерий Смирнова-Граббса:

2. Дисперсионный критерий Граббса:

G>=C``<sub>10%</sub> типичное значение; G<C``_2,5% ошибка; С``<sub>2,5%</sub> <= G <C``_10% доп исслед-я.

3. Критерий Титьена-Мура:

L≥C`<sub>10%,</sub> типичн.знач.; L<C`_2,5%, все k-груб.ош.

Билет №12. Основные методы робастного оценивания.

1. Метод Пуанкаре:

e - степень засорения выборки, α=f(e) – по табл.

Если , то T(α) – устойчивая оценка МО выборочной совокупности.

2. Устойчивая средняя по Виндзору:

MO^*=

3. Итеративная процедура Хубера:

Θ(α) – пока θ_j(α) не перестанет изменяться.

1)Разбить исходную совокупность на 3 части: а) истинные значения (j-ый шаг):

б)значения, существенно меньшие θ_j(α): в)значения, существенно большие θ_j(α):

2)

а)

Все снова делим на 3 части.

4. Многомерный подход к получению устойчивых оценок:

x^j=(x₁^j,…,x_n^j), где j-признак

- расстояние Махаланобиса.

Билет №13. Корреляционно-дисперсионный анализ количественных данных.

1. М-ца парн.коэфф.коррел.:

2. М-ца частн.коэфф.коррел.: , где R₁₂^`-вычеркн.из R₁₂ 1стр.и 2столб.

3. Пров.на знач.частн.коэфф.коррел: , n-объем выборки, l-число фиксиров.призн.

4. Доверит.интерв.для частн.коэфф.коррел.: в табл.Фишера Z_rmin(z-Δz), z_rmax(z+Δz)переходим к аргументу r.

5. Множеств.коэфф.коррел.(действ.,если все связи лин.): |R₆|-опр-ль м-цы парн.коэфф.коррел.

6. Пров.на нач.множеств.коэфф.коррел.:

Исследование парной нелинейное связи. Корреляционное отношение

Корреляционное отношение вбирает в себя идеологию коэффициента детерминации, но в случае нелинейной связи.

Н еобходимо найти все интервалы скопления точек. Интервалов может быть . Получить проекцию каждой точки на ось ординат. Корреляционное отношение не обладает симметрией, т.е.: Необходимо найти частные средние ординаты в каждом j-ом интервале: , где - количество точек в j-м интервале.

Универсальный измеритель связи в случае линейной вязи – коэффициент детерминации:

Аналогом факторной дисперсии в случае нелинейной связи является:

, где

Оценка для нелинейного коэффициента детерминации (корреляционного отношения):

, где - все отклонения по точкам:

Иногда этот коэффициент служит мерой нелинейности. Он совпадет с коэффициентом корреляции только в случае линейной связи. Следующая величина показывает отклонение от линейности:

. Чем больше дельта, тем сильнее нелинейность.

При этом , если связь полностью отсутствует, и , если связь абсолютна (однозначное функциональное отображение y через x)

Всегда (равенство только в случае линейности вязи)

Критериальная проверка:

H₀ - свидетельствует о незначимости коэффициента (равенстве нулю). Проверяется по критерию Фишера:

=> H1: ρx1x2≠0

S-кол-во интервалов разбиения.

Если , то это свидетельствует о значимости корреляционного отношения.

Билет №14. КДА порядковых величин.

Билет №15. Дисперсионный и энтропийный коэфф.конкордации.

	Э1	Э2	…	Эq	…	Эw	∑
O1							r1
O2							r2
…
Oi				riq			ri
…
On							rn
∑	r1	r2		rq		rw	∑

1) Все эксперты дали различные ранжировки любому объекту:

Если и , то , следовательно,

Вывод: чем меньше дисперсия, тем более различны мнения экспертов. Это главное отличие рангового анализа от количественного.

2) Все эксперты высказали схожее мнение (дали одинаковые ранжировки какому-л. об.):

Итак:

Свойства коэффициента конкордации: 1) при максимальной согласованности S=1 2) при различных мнениях S = 0.

,

Энтропийный коэффициент конкордации

, - вероятность присвоения i-му объекту j-го ранга экспертом.

Как правило, вероятности неизвестны и берут их оценку в виде частостей:

,

Где - количество экспертов, присвоивших i-му объекту j-ый ранг

W – общее количество экспертов

А) Мнения различны, ранги присваиваются случайно  p_ij=(1/n) H=n*ln(n)

Б) Все эксперты дали одинаковые мнения 

W=1 при полной согласованности, W=0 при полной рассогласованности.

S: устанавливает лишь факт наличия/отсутствия связи. W: рассматривает разбиение совокупности на подгруппы.

1) некомпетентность экспертов; 2)использование одного внешнего источника; 3) исх.инф-ция не отражает проблему; 4)сговор эксп. ; 5)определяющее мнение авторитета; 6) матем.неверн.обраб.данных.

Билет №16. Коэффициент Спирмена, проверка на значимость.

А) , n-число объектов,r_i^k-ранжировка, данная k-ым экспертом i-му объекту.

Б)для связных рангов:

, где , l=k(h)

t – номер группы связных рангов,

- число групп связных рангов в ранжировке l,

- число элементов (рангов), входящих в t-ую группу связн. рангов.

Критериальная проверка данного коэффициента при условии, что количество объектов больше 10 ( ), осуществляется по статистике Стьюдента:

При n30 ρ_kh^*(s) ~N(0, 1/(n-1) )

Для одного и того же эксп.мнен.Кендалл по мод.меньше Спирмена.

Билет №17. Коэффициент Кендалла, проверка на значимость.

А) , где S=P+Q (число бОльших рангов, следующих за данным, + число меньших рангов (со знаком минус)

υ(r^k,r^h) - минимальное число перестановок соседних элементов, или инверсий, ранжировки r^k, необходимых для приведения её к ранжировке r^h.

Б)для связных рангов:

Проверка на значимость:

А)

Б)

Для одного и того же эксп.мнен.Кендалл по мод.меньше Спирмена.

Билет №18. Критерий независимости для таблиц сопряженности.

Любые номинальные данные должны быть оцифрованы. (в виде таблиц логического описания или таблиц сопряженности). Рассмотрим 2 признака Х1 и Х2. Если таблица 2×2, то имеем биномиальный закон распределения. Если одна из частот <20, критер.треб.поправ.(Фишера или Йетмена)

Рассмотрим пример о заболеваемости (грипп)

	Не заболели (y)	Заболели ( )	Всего
Привитые (x)	72	28	100
Непривитые ( )	31	69	100
Всего	103	97	200

H₀: x и y – независимы (нал.привив.не оказ.влиян.на заболеваем.)

Теоретич.табл.,где соблюд.независим.:

	Не заболели (y)	Заболели ( )	Всего
Привитые (x)	1-p	p	100
Непривитые ( )	1-p	p	100
Всего	103	97	200

P=97/200=0,485 (теоретич.вер-ть заболеть) (1-р)=1-0,485=103/200 (ожидаем.частота,привитые заболели)

Таблица ожидаемых частот:

	Не заболели (y)	Заболели ( )	Всего
Привитые (x)	51,5	48,5(=(97/200)*100)	100
Непривитые ( )	51,5	48,5	100
Всего	103	97	200

(Вер-ть заболеть одинакова для привитых и непривитых).

Исходная таблица – эмпирич., в ней ничего неизвестно про зависим./независим. Табл.ожид.частот-теоретич., в кот.независимы. Сравним теоретич.и эмпирич.таблицы по критерию Пирсона.

Расчетная статистика (хи-квадрат): -это вер.того, что соб.независ.

Изначально вероятность делится на 2, т.к. берем только правый хвост распределения (оно симметрично). Впоследствии, избавляясь от модуля, мы снова возвращаемся к целому распределению и перестаем делить на 2. На самом деле мы проверяли совпадение распределения наблюдаемых частот и ожидаемых частот. Если ожидаемые и наблюдаемые частоты совпадут, мы везде в расчетной статистике получим ноль, а вероятность была бы равна единицы. H₀: В данном случае мы отвергаем гипотезу о равенстве распределений. Тем самым мы доказали, что x и y зависимы.

КДА номинальных (категоризованных признаков)

Любые номин.данные д.б.сначала оцифрованы (в виде табл.логич.описан. или таблиц сопряженности). Рассмотр.2 признака, табл.сопряж. w*k, общ.вид.

	X1=1	2	…	j	…	k	∑
X2=1	n11	n12		n1j		n1k	n1
2	n21	n22		n2j		n2k	n2
…
i	ni1	ni2		nij		nik	ni
…
w	nw1	nw2		nwj		nwk	nw
∑	n1	n2		nj		nk	n

n_i^j-кол-во одновременного появления знач.jдля 1-го призн.и знач.i для 2-го призн.(совместн.вер-ть). n=n₁+…+n_w=n¹+…+n^k-общее число опрош.респондентов.n^j-кол-во появл.знач.j для 1-го призн.n_i-кол-во появл.знач.i для 2-го призн.

Табл.внутри сод.совм.вер-ти,а в ∑-обычн.вер-ти.

-индикатор связи,понятие,обратное понятию независимости.Если полож., то прям.связь.Если отрицат.,то обр.связь. Г=(γ_ij)_w*k Чем больше ненулев.эл-тов, тем больше связь в табл.сопряж.

Хар-ка квадратичной сопряженности.

А) Коэфф.связи Чупрова [0;+∞)

Б)Информационный коэфф.связи [0;+∞)

В) Коэфф.Крамера [0;1]

Дисперсии и доверит.интерв.для хар-ик.

Довер.инт.покр.0-связи нет.Довер.инт.больш.-связь слаб.Довер.инт.узк.-связь сильн.

Билет №21. Состав дисперсии элементарного признака в ФА.

Билет №32. Надежность решений, полученных методами ФА.

При необходимости проверки значимости модели ФА критерий Бартлетта.Н₀: m общих факторов достаточно для объяснения выборочн.коэфф.коррел.

Билет №33. Кластерный анализ качественных многомерных данных.

Основн.пон.КА – однородность/несхожесть объектов. Метрика д.б.чувствит.к исх.данным.