§1. Матрицы и действия над ними.

Виды матриц.

Матрица – таблица из m´n чисел расположенных в виде m строк и n столбцов.

Числа из которых состоит матрица – её элементы.

a_ik i – номер стоки k – номер столбца

если число строк = числу столбцов (m=n) матрица назыв квадратной порядка n

Матрица сост из 1-го столбца – Матрица – стоцбец

Матрица сост из 1-ой строки – Матрица – строка

Матрицы назыв равными если они одинакового размера и если на одинаковых местах у них стоят равные числа

Сложение и умножение на число – лин операции над матр.

1. Матрицы одинакового размера складыв поэлементно

2. Умножить матрицу на число значит умножить на это число каждый её элемент

По аналогии с обычным вектором кот можно задать упоряд сист чисел, упоряд сист сост из n эл-ов, назыв n – мерным арифмет вектором а эл-ты назыв компонентами.

У матрицы размера m´n столбцы явл-ся

m – мерными вект а стоки n – мерными векторами

Сумму попарных произвед одноимённых компонентов векторов назовём свёрткой этих векторов или их скаляр произвед

(a₁b)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

Пусть имеются 2 матр A_m´n и B_n´p так что строки 1-ой и столбцы второй имеют один и тот же размер n

Строки 1-ой и столбцы 2-ой назыв n – мерными векторами

Произвед A_m´n на B_n´p назыв матрица

C_m´p элемент C_ik который равен свёртке

i – строки матрицы А и k – столбца матр В

C_ik=a_i1·b_1k+a_i2·b_2k+…+a_in·b_nk

Пусть

Оказывается перемножение матриц не перестановочно AB¹BA (не обязат равно)

Если для каких-либо матриц АВ=ВА – такие матрицы наз перестановочными

Свойства перемножения матриц

1. (A_m´n·B_n´p)C_p´k=A_m´n(B_n´p·C_p´k)

2. (lA)B=A(lB)=l(AB) l - число

3. A(B+C)=AB+AC

В квадратной матрице мн-во эл-ов у которой i=k – назыв. Главной диагон

Квадр матр у котор за пределами главн диаг все элем равны 0 назыв диагональной.

При умножении матр. EA=A E играет роль единицы

E3= 0 1 0

0 1 0 | a b | * |1 0 | = a | b

0 1 0 | c d | |0 1 | c | d

Транспонированием матрицы назыв операция при котор строки и столбцы меняются местами.

A= 1 2 3 A^t= 1 4 (A^t)^t=A

4 5 6 2 5

3 6

У квадратной матрицы транспонирование сводится к повороту относительно главной диагонали .

A= 1 2 3 A^t= 1 4 7

4 5 6 2 5 8

7 8 9 3 6 9 Матрица котор не меняется при транспониров называется симметричной

1 0 -1 A^t=A

0 2 4

-1 4 3