§28 Преобраз парал переноса.
Уравнен смещения кривых
второго порядка.
Как известно сист коорд для точек пл-ти опр-ся выбором базиса и выбором т. начала координат. Пусть имеем 2 системы у котор базисы одинак а начала коорд разные.
y
y’
M (x, y )
e2 (x’,y’)
e2
x’
0’ e1
0 e1 x
Каждая точка на пл-ти имеет два набора коорд. Первые явл коэф разложен вектора ОМ а вторые О’М. Пусть О’ имеет старые коорд О’(х0,у0)
O’M=OM-OO’
x’=x-x0 y’=y-y0
Предположим теперь что какая-либо кривая второго порядка например эллипс имеет оси параллельные осям коорд а центр не в начале коорд.
у
у’
M0 x’
M0(x0,y0)
0 х
Перенесём начало координат в т. М0 ясно что в новой системе коорд ур-е эллипса будет иметь вид:
Вернёмся к исходной сист координат тогда ур-е смещён эллипса будет:
аналогичны ур-я смещения гиперболы и параболы:
-
гипербола
(y+2)2=-4(x+3) - парабола
§29 Исследование пятичленного ур-я
второго порядка.
В самом общем виде ур-я второго порядка с двумя неизвестными имеет 6 слагаемых и называется шестичленным.
Ах2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
шестичленное ур-е
Оказыв за счет преобраз поворотов на некотор угол можно добиться что в новых коорд слагаемое котор содержит смешанное произвед отсутствует т е В'=0
Будем предполагать что это преобразован предварит уже выполн и что ур-е имеет вид
Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
пятичленное ур-е
Р ассмотрим три случая:
I
AC>0 общности исследования можно считать что А>0 и C>0 (либо если A<0 и C<0 то мы сначала ´(-1))
обозначим (-D/A)=x0; (-E/C)=y0
A(x-x0)2+C(y-y0)2=F’
a) F’>0 b) F’=0 c) F’<0
a)
(x0,y0) – центр
полуось то что больше (a или b)
b)
x=x0 y=y0 точка (x0,y0)
определяет 0 – мнимый эллипс
II
AC<0
A>0, C<0 введём C1= -C>0
Ax2-Cy2+2Dx+2Ey+F=0
(D/A)=-x0 (E/C1)=y0
A(x-x0)2-C1(y-y0)2=F’
a) F’>0 b) F’<0 c) F’=0
a)
а – д.п. ось определ смещённую гиперболу действит ось которой парал оси Оу
b) введём F1= -F’>0
A(x-x0)2-C1(y-y0)2= -F1>0
имеем смещ гиперб действит ось кот || Оу
с) F’=0
либо
0 либо 0
пара
пересекающихся прямых
III
AC=0
A=0, C¹0
Cy2+2Dx+2Ey+F=0
1) D¹0 2)D=0
IIIa1)
(-E/C)=y0 ;(-D/C)=p x0
(y-y0)2=2p(x-x0) коорд верш (x0,y0)
IIIa2)
Cy2+ +2Ey+F=0
D/4=E2-FC дискрим.
y=y1 y=y2
пара || прямых
y1
y2
E2-FC=0 y=y1 C(y-y1)2=0
Пара совпад прям
y1 пара
3) E2-FC<0 нет корней
и всегда Cy2+2Ey+F>0 (e. C>0)
Cy2+2Ey+F<0 (e. C<0)
b) A¹0, C=0 0
|| , | , || пара мнимых прямых
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.