21. Уравнение прямой проходящей через

две данные точки.

Z

M₂=(x₂,y₂,z₂)

M₁=(x₁,y₁,z₁)

L

Y

X

S=M₁M₂=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁) M₀=M₁

(M₁M₂):

§ 22. Переход от общ.

УРАВНЕНИЙ КРИВОЙ К ЕЕ

КАНОНИЧЕСКИМ УР-ЯМ.

Пусть прямая дана общими уравнениями, т.е. как пересечение плоскостей.

Ax+By+Cz+D=0 a

(1) L:

A’x+B’y+C’z+D=0 a»

Чтобы перейти к каноническому уравнению прямой надо найти m,n,p.

S =(m,n,p)

M₀(a,b,c)

a’ S

a

Т.к. SÎaÞ S^n

SÎa’ÞS^n’

S|| n´n’

Найти коорд. М₀(a,b,c),через который проходит прямая L.

Чтобы найти a,b,c надо найти решение сист 1,если

A B ¹0,то проще всего положить z=0.

A’ B’ для нахождения x и у решить систему.И подставить a,b,c=0 в ур-ние (1).

§23. Угол между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

a

Пр_aL

y S

L

j

Углом между плоскостью и прямой наз остроый угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Он дополнит до 90° острый угол между прямой и ^-ром к плоскости.

Sinj=Cosy

n,S (угол между n и S)

y=

180°-n,S

n

S

(S)

Но в обоих случаях Cosy=|Cos n,S|

Sinj=|Cosy|=|A_m+B_nC_p|/|n|*|S|

1)

L

S

n

a

L^aÛS||n Ûm/A=n/B=p/C

2)

n

S L

a

L||aÛn^SÛAm+Bn+Cp=0

3) n

S L a

M₀(a,b,c)

LÌaÛ

Am+Bn+Cp=0

Aa+Bb+Cc+D=0

Из этой системы следует условие при котором прямая постоянна принадлежит плоскости.

§24. Задача о пересечении

ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

Пример: Пусть a: A_x+B_y+C_z+D=0

Найти: M’(x’,y’,z’)=aÇL=?

Приравняем общ. значение равных отношений парам t и выразим коорд через t

x=mt+a

y=nt+b

z=pt+c

С полученными выражениями войдем в левую часть ур-я пл-ти:

A(mt+a)+B(nt+b)+C(pt+c)+D=0

(*) (Am+Bn+Cp)t+Aa+Bb+Cc+D=0

Имеем одно ур-е с одним неизв.:ax=b

Имеется три возможности:

1)Am+Bn+Cp¹0, тогда

Это знач. параметра отвечающ. точке пересечения

Коорд. Точки пересеч. Находим выражая их через t’:

x’=mt’+a

y’=nt’+b

z’=pt’+c

2) Am+Bn+Cp=0

Aa+Bb+Cc+D=0

0*t+0=0 t – любое

Вся прямая лежит в плоскости.

3) Am+Bn+Cp+D=q¹0

0*t=-q¹0

Ур-е не имеет решений, а пересеч. aÇL=0

Пример: Найти проекцию (·) M(-1,0,1) на плоскость a: x-2y+3z-4=0

Рассмотрим прямую, проход. Через т. M ^ пл-ти. Очевидно в качестве направл. вект. n

M x=t-1

n y=-2t

z=3t+1

t-1-2(-2t)+3(3t+1)=0 t’=1/7 , тогда

x’=-6/7 y’=-2/7 z’=10/7