§18 Расстояние от точки до плоскости

z n=(A,B,C)

M’(x’;y’;z’)

M₀(x₀;y₀;z₀)

y

x a

Расстояние от точки до пл-ти равно:

1. Результату подстановки коорд точки в левую часть общего ур-я пл-ти.

2. Взятому по модулю.

3. Делённому на длину норм вектора.

r(M’,a)=

Док-во:

Ax’+By’+Cz’+D=Ax’+By’+Cz’+D-

-(Ax₀+By₀+Cz₀+D)=

=A(x’-x₀)+B(y’-y₀)+C(z’-z₀)=n·M₀M’=

= |n|·|M₀M’|·cos(n^M₀M’)

r(M’,a) ±1 +1 если M₀M’ ­­ n

-1 если M₀M’ ­¯ n

Рассмотрим первую и последнюю часть нашей системы равенств

|Ax’+By’+Cz’+D|=|n|r(M’,a)

После деления на модуль n получаем доказываемую формулу.

Пример: 3x-4y+12z-5=0 M’(1;2;3)

|n|²=9+16+144=169=13²

r(M’,a)=

§19 Общие ур-я прямой в пространстве

(прямая как пересечение плоскостей)

Всякая прямая может быть задана пересеч двух плоскостей. На языке аналит геомет это означает что всякая прямая может быть задана системой двух линейных ур-ий.

Ax+By+Cz+D=0 (A,B,C)=n

A’x+B’y+C’z+D’=0 (A’,B’,C’)=n’

Чтобы пара ур-ий опр-ла прямую нужно чтобы n || n’ Þ n´n’¹0

Надо чтобы хотя бы один из написанных определителей 2-го порядка не был равен 0

§ 20. Уравнение прямой

ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ

ТОЧКУ ПАРАЛЛЕЛЬНО

ДАННОМУ ВЕКТОРУ.

S=(m,n,p) L

· M(x,y,z)

M₀(a,b,c)

Опр:

Н енулевой вектор S параллельный прямой

называется направляющим вектором прямой.

Свое название он оправдывает, если его начало поместить в какую-либо точку прямой. Рассмотрим произведение текущ. точки М и вектора M₀M=(x-a,y-b,z-c).

Для всех М »L и только для этих М вектор M₀M || n в координатах:

(A)

каноническое уравнение прямой.

Замечание:

1.Надо понимать, что двойное равенство эквивалентно системе двух уравнений:

x-a/m=y-b/n || oz

y-b/n=z-c/p || ox

2.Не надо смущаться если в знаменателе 0.

Пример: x-2/3=y+1/(-2)=z-4/0

x-2/3=y+1/(-2) ||oz

z-4=0 ^oz

Когда имеем двойное равенство желательно выразить 3 переменных через одну из них или какую-то 4-ую постороннюю переменную (параметр). В данном случае за параметр удобно взять общее значение трех отношений:

x=mt+a параметрические

y =nt+b ур-ния прямой

z=pt+c

Пример:

из точки М₁(-1,0,1) опустить перпендикуляр на пл-ть x-2y+3z-4=0

M₁ S=n_a

S

n_a

a

x+1/1=y/(-2)=z-1/3=t

x=t-1

y=-2t

z=3t+1