§26 Гипербола.

Опр:

Гиперболой назыв множество точек разность расстояний которых до двух данных т называется фокусом сами есть величина постоянная

Выберем систему координат такую как при эллипсе

y M(x,y)

x

F₂(-c,0) F₁(c,0)

(*)

В треуг F₂MF₁ как и во всяком треуг вообще разность двух сторон непременно меньше третьей стороны (2а<2c) a<c

Запишем усл (*) в координатах проведём два возвышения в квадрат и получим тот же результат что при выводе ур-я эллипса (на экз проделать)

(*)

т к а<c то обозначим с²-а²=b² тогда

(1) - каноническое ур-е гиперболы

Исследование формы

Гиперболы по её кано-

ническому ур-ю

1. Т к в ур-е х и у входят только в квадратах гиперб имеет две оси сим-рии (коорд оси) и центр симметрии (0,0)

2. Найдём вершины

Пологаем у=0 Þ x²/a²=1 Þ x=±a

x=0 Þ -y²/b²=1 0 (пересечений нет)

Ось кот пересекает гиперб назыв действит осью а кот не пересекает – мнимой осью

3. Постоим осевой прямо y, а через его вершины проведем прямые

Y=(b/a)x

b

a

Ок-ется гипербола выглядит так

Убедимся в этом в два приёма Пусть x³0 y³0

x=a x­ x­¥

y=0 y­ y­¥

Вывод: Прямая y=(b/a)x - асимптота

или

Это ур-е опр-ет гиперболу с тем же осевым прямоуг что и ур-е (*) и теми же асимптотами что и (*) только ось Oy действ а ось Ox мнимая

y

·F₁

x

·F₂

§27 Парабола

Опр:

Параболой назыв мн-во точек равно отстоящих от данной точки назыв фокусом и данной прямой назыв директрисой

Выберем сист коорд чтобы фокус был в т F(p/2,0)

а директриса ® x=-p/2

p>0 - параметр

|FM|=|NM|

( -p/2,y)N M(x,y)

0 F(p/2,0)

x=-p/2

y²=2px - каноническое ур-е параболы

Исследование формы

параболы по её

канонич ур-ю

1. т к у²³0 Þ х³0 в правой полупл-ти

2. Кажд х отвеч два значен у и –у Þ ось Ох – ось симметрии

3. у=0 ® х=0 Þ (0,0) – вершина параболы

4. с­х ­|y|

0

y ²=-2ax (a>0)

x²=2py

x²=-2ay