Таким образом векторное произведение есть вектор = определителю в 1 строке которого расположены координатные орты а в 2-ух других координаты перемножаемых векторов.

Пример: a=(3;3;1) b=(2;-2;-1)

=(-3+2)j-(-3-2)j+(-6-6)k=-i+5j-12k=(-1;5;-12)

Обязательная проверка:

c·b=(-1)*2+5*(-2)+12*(-1)=-2-10+12=0

§ 12.Смешанное пориведение

3-ёх ВЕКТОРВ.ГЕОМЕТР.СМЫСЛ И ВЫЧИСЛЕНИЕ .НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ КОМПЛОНАРНОСТИ 3-ёхВЕКТОРОВ.

Опр:

Смешанным произведением 3 векторов наз число вычисляемое по правилу :

(a´b)c.Где первые два вектора

перемножаются векторно,а их произведение умножается скалярно на 3 вектор.

Выясним геометрический смысл произведения .Выясним от чего зависит знак.введём вспомогательный вектор d

d=a´b (a´b)c =dc d c

b

a

c₁

dc>0,если угол между dc-острый

а острый он для всех Ð ,которые лежат над пл-тью ab.Но все такие векторы дают правую тройку векторов abc.

dc<0,если угол между dc-тупой

Смысл | (a´b)c |

d

b c­

­

a =|d|*пр_d c(±H)=±V_пар-да

S ¯

c¯

d

c

b

H

a

Вывод: Смешанное пр-е численно равно V параллелепипеда построенного на векторах

a,b,c и взятого со знаком + если a,b,c-правая

и со знаком – если a,b,c-правая.

Вычисление смешанного произведения.

Оказывается смежное произведение равно

(a´b)c =

Док-во:

(a´b)c=dc=cd= (по св-вам скаляр. пр-я)

= =

=

Св-ва смешанного произведения

(и определителя).

1.При круговой перестановки векторов смешанное произведение не меняется.

( a´b)c=(c´a)b=(b´c)a a b

Д ок-во: c

1)объём не не меняется

2)ориентация не меняется.

2.Если поменять местами знаки ´ и *,то результат не изменится.

(a´b)*c=a*(b´c)

Док-во:

(a´b)*c=(c´a)*b=а*(b´c) (по св-ву скалярногопроизведения)

Это позволяет записывать смешанное произведение вообще без знаков:

3.При перестановки местами двух векторов произведение меняет знак на противоположный. bac= -abc

Док-во:

1) Объём не меняется

2) Ориентация меняется

4.abc=0Ûa,b,c-комплонарны

Док-во:

В этом случае объём равен 0.

Частные случаи:

1) Один вектор нулевой.

2) Два вектора коллинеарны

(в частности b=a)

Следствие:

Необходимое и достаточное условие комплонарности трёх векторов.

Три вектора комплонарны тогда и только тогда когда определитель составленный из их координат равен 0.

a;b;c

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Плоскость и прямая в пространстве.

§ 13.Уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

n

a

Опр.

Ненулевой вектор n ^ пл-ти называется нормальным вектором пл-ти.

Рассмотрим задачу :

Дана система координат,пл-ть a,известен нормальный вектор плоскости a,известна точка М₀Îa.

n=(A,B,C)

n^a

M₀=(x₀,y₀,z₀)

Рассмотрим текущую точко М в пл-ти a.

z n= (A,B,C)

M₀(x₀,y₀,z₀)

M(x,y,z)

y

x

Характеристическим свойством какого-либо множества называется такое свойства которое присуще любому элементу данного множества и отсутствует у элементов неÏ данному множеству.

М₀М=(x-x₀,y-y₀,z-z₀)

Характеристическим свойством пл-ти a является условие n^М₀М.

Запишем это условие в координатах

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.

Пример: n=(1;-2;3) M₀(2;4;0)

1 (x-2)-2(y-4)+3(z-0)=0 z

x -2y+3z+6=0 -2

-6 3 y

x