§ 25. Кривые второго порядка.
ЭЛИПС.
Опр:
Эллипсом называют множество точек сумма расстояний которых до 2ух данных точек называемых фокусами есть величина постоянная.
Выберем систему координат так чтобы фокусы имели координаты F1(c,0),F2(-c,0)
2c-фокальное расстояние.
M(x,y)
(-c,0) F2 F1(c,0)
Пусть M(x,y) текущая точка эллипса. По условию F1M+F2M=const=2a(>2c) т к в треугольнике MF2M1 сумма двух сторон больше третей стороны.
Запишем это выражение в координатах:
И получим:
(*)
каноническое уравнение элипса
Пример:
a=3
b=
Исследование формы эллипса по его
каноническому уравнению.
1)
Þ
|x|<=a; |y|<=b
Эллипс фигура ограниченная он не выходит за пределы некотрого прямоугольника
С полушириной a и полувысотой b.
2)
Т к координаты входят только в квадратах то наряду с точкой M(x;y) эллипсу принадлежат точки (-x,y) (x;-y) (-x;-y).
Þ координаты оси являются осями симметрии эллипса.
M(-x,y) M(x,y)
M(-x,-y) M(x,-y)
3)Точкой пересечения осей симметрии называется центром симметрии.Он в начале координат.
4)Точки пересечения фигуры с осями симметрии называются её вершинами.Найдём вершины эллипса
x=±a; y=±b.
Чтобы исследовать форму эллипса положим x³0 и y³0 и разрешим уравнение относительно y.
y2=b2(1-
)
x=0 y=b ; x=a y=0
y=b
x
y¯
b
a
6) Величина a и b наз.большой и малой полуосью эллипса.
Величина
е=
---
Эксцентриситет эллипса.
Если a=b,то будет окружность с радиусом a, e=0
е-характеризует степень сжатия эллипса.
чем ближе е к 1, тем тем больше степ. сжат
7
)Параметрические
ур-ния окр-ти и эллипса
R
M(x,y)
y
x
t
x=RCost y=RSint 0£t<2p
(*)
M’(x’,y’)
a
M(x,y)
x
t
x=aCost
подставим x в(*)Þy=bSintCost
y=bSint
x=aCost y=bSint 0£t<2p
8)
Зададимся вопросом какую фигуру
определяет ур-е:
если b>a
Эллипс, фок. ось кот. совпад. с Oy
b
b- б. полуось
F1· а- м. полуось
F2·
a
