- •Вычислительная математика лабораторный практикум
- •Содержание
- •Метод исключения Гаусса
- •Введение
- •Построение алгоритма исключения Гаусса
- •3. Реализация алгоритма Гаусса в Excel
- •4. Реализация алгоритма Гаусса в пакете Mathcad
- •5. Реализация алгоритма Гаусса на языке Turbo Pascal
- •6. Вычисление определителя и обратной матрицы
- •7. Выбор ведущего элемента
- •8. Числа обусловленности
- •9. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •1.Введение
- •Метод Якоби для решения слау
- •Метод Зейделя для решения слау
- •Задания для самостоятельной работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Численные методы решения нелинейных уравнений
- •1. Введение
- •2. Отделение корней уравнения
- •3. Метод дихотомии для решения нелинейных уравнений
- •4. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений
- •5. Задания для самостоятельной работы
- •6. Контрольные вопросы
- •Полиномиальная интерполяция
- •1. Интерполяция данных каноническим полиномом
- •2. Интерполяционный полином Ньютона
- •3. Интерполяционный полином Лагранжа
- •4. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •Метод наименьших квадратов
- •1. Введение
- •2. Линейная аппроксимация
- •3. Аппроксимация нелинейными функциями
- •4. Аппроксимация полиномом
- •Задания для самостоятельной работы
- •6. Контрольные вопросы
- •1. Введение
- •2. Постановка задачи
- •3. Численное дифференцирование с заданной точностью
- •Модификация алгоритма численного дифференцирования Использование центральной разности (6.3) для приближения производной позволяет проводить вычисления с точность порядка :
- •Результаты вычислений сведем в таблицу:
- •5. Действия над приближенными числами
- •6. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •1. Введение
- •2. Метод прямоугольников
- •3. Метод трапеций
- •4. Метод парабол
- •5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •Метод Гаусса
- •7. Задания для самостоятельной работы
- •2. Провести расчеты знакомого уже нам интеграла ошибок
- •8. Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Учебное издание
9. Задания для самостоятельной работы
1. Из составленных Вами процедур и функций необходимо оформить модуль. Ваш модуль можно расширить, вводя в него процедуры решения СЛАУ, вычисления определителей и обратных матриц методами Жордана-Гаусса, Краута и другими методами.
2. Проведите тщательное тестирование разработанных Вами подпрограмм При проведении вычислительного эксперимента важно выделить, какие из параметров необходимо изменять в задаче. Не пытайтесь сразу изменять все параметры. Зафиксируйте их и, изменяя только один, следите за результатами расчетов, аккуратно записывая наблюдаемые изменения и делая выводы для следующих численных опытов. Необходимо вести лабораторный журнал, в который заносить необходимую информацию: постановку задачи, её математическую формулировку, разработку алгоритма, листинги процедур и функций с комментарием, результаты тестовых расчетов, результаты проведенного вычислительного эксперимента, выводы и предложения.
Для плодотворной работы в компьютерном классе необходима тщательная домашняя проработка материала, разработка алгоритма и написание программ, подробный план работы.
Контрольные вопросы
Объясните «прямой ход» метода Гаусса для решения СЛАУ.
Объясните «обратный ход» метода Гаусса для решения СЛАУ.
Как изменится методика решения СЛАУ с учетом выбора ведущего элемента?
Поясните формулу нахождения определителя матрицы по методу Гаусса.
Как можно найти обратную матрицу?
Для чего нужны нормы матриц и векторов? Основные формулы вычисления норм.
Как характеризует матрицу число обусловленности? Расчетные формулы для поиска числа обусловленности.
Лабораторно-практическая работа 2
Итерационные методы решения
систем линейных алгебраических уравнений
1.Введение
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений, рассмотренные нами в предыдущей работе, относятся к так называемым прямым методам, позволяющим получать решение после выполнения заранее известного числа операций. Одним из существенных недостатков прямых методов является возможность накапливания погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Кроме того, обычно в этих методах не учитывается структура матриц и зачастую приходится выполнять много лишних операций с нулевыми элементами при работе с ленточными, клеточными и другими типами разряженных матриц.
Альтернативой прямым методам являются итерационные или. методы последовательных приближений, в которых задается начальное приближение, а затем с помощью некоторого алгоритма, уточняющего решение, проводится цикл вычислений, называемых итерацией. В результате итерации находятся новые значения неизвестных. Таким образом, строится последовательность приближений , которая сходится к точному решению системы . Эффективность этих методов определяется скоростью сходимости. Положительным свойством итерационных методов является то, что погрешность в них не накапливается, поскольку точность вычислений в каждом приближении определяется лишь результатом на предыдущем шаге. Это позволяет использовать их для решения систем с большим числом уравнений, а так же при работе с плохо обусловленными матрицами, которые, как известно, сверхчувствительны к погрешностям. Кроме того, итерационные методы эффективны при работе с разреженными системами, поскольку не требуют хранения в памяти компьютера сразу всех элементов матрицы.
Часто итерационные методы используются в сочетании с прямыми для уточнения решений. Такие смешанные алгоритмы на практике достаточно эффективны.