- •Вычислительная математика лабораторный практикум
- •Содержание
- •Метод исключения Гаусса
- •Введение
- •Построение алгоритма исключения Гаусса
- •3. Реализация алгоритма Гаусса в Excel
- •4. Реализация алгоритма Гаусса в пакете Mathcad
- •5. Реализация алгоритма Гаусса на языке Turbo Pascal
- •6. Вычисление определителя и обратной матрицы
- •7. Выбор ведущего элемента
- •8. Числа обусловленности
- •9. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •1.Введение
- •Метод Якоби для решения слау
- •Метод Зейделя для решения слау
- •Задания для самостоятельной работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Численные методы решения нелинейных уравнений
- •1. Введение
- •2. Отделение корней уравнения
- •3. Метод дихотомии для решения нелинейных уравнений
- •4. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений
- •5. Задания для самостоятельной работы
- •6. Контрольные вопросы
- •Полиномиальная интерполяция
- •1. Интерполяция данных каноническим полиномом
- •2. Интерполяционный полином Ньютона
- •3. Интерполяционный полином Лагранжа
- •4. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •Метод наименьших квадратов
- •1. Введение
- •2. Линейная аппроксимация
- •3. Аппроксимация нелинейными функциями
- •4. Аппроксимация полиномом
- •Задания для самостоятельной работы
- •6. Контрольные вопросы
- •1. Введение
- •2. Постановка задачи
- •3. Численное дифференцирование с заданной точностью
- •Модификация алгоритма численного дифференцирования Использование центральной разности (6.3) для приближения производной позволяет проводить вычисления с точность порядка :
- •Результаты вычислений сведем в таблицу:
- •5. Действия над приближенными числами
- •6. Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные вопросы
- •1. Введение
- •2. Метод прямоугольников
- •3. Метод трапеций
- •4. Метод парабол
- •5. Вычисление интегралов с заданной точностью
- •Метод Гаусса
- •7. Задания для самостоятельной работы
- •2. Провести расчеты знакомого уже нам интеграла ошибок
- •8. Контрольные вопросы
- •Список литературы
- •Учебное издание
3. Метод трапеций
Заменим площадь под кривой f(x) на отрезке площадью трапеции, тогда:
(7.8)
Интеграл на всем интервале [a,b] при равномерном выборе шага
(7.9)
где . Погрешность этой формулы оценивается как :
, (7.10)
где . Заметим, что метод трапеций имеет погрешность несколько большую, чем метод средней точки.
Сделаем небольшие изменения в предыдущей подпрограмме-функции и запишем
function Q_Tr( a,b:real; n:longint): real;
var s,h:real; k:longint;
begin
h:=(b-a)/n; s:=0.5*(f(a)+f(b));
for k:=1 to n-1 do s:=s +f(a+h*k);
Q_Tr:=h*s
end;
4. Метод парабол
Заменим площадь под кривой f(x) на отрезке площадью под параболой. Парабола для своего описания требует трех соседних точек:
(7.11)
Значение функции в центральной точке включено в формулу с весом четыре, а двух крайних с весом единица. Интеграл на всем интервале [a,b] при равномерном выборе шага
(7.12)
Значения функций в нечетных узлах умножаются на коэффициент 4, а в четных – на 2. Крайние точки дают вклад в составную формулу (7.12), называемой формулой Симпсона, с единичным весом.
Оценка погрешности формулы Симпсона:
(7.13)
где .
Сделаем корректировку в подпрограмме-функции, составленной для метода трапеций
function Q_Sm( a,b:real; n:longint): real;
var s,h:real; k:longint;
begin
h:=(b-a)/n; s:=f(a)+f(b);
for k:=1 to n-1 do s:=s +f(a+h*k)*(k mod 2*2+2);
Q_Tr:=h*s/3
end;
В качестве теста возьмем интеграл В следующей таблице приведены результаты расчетов погрешностей для квадратурных формул метода средней точки , трапеций и парабол .
k n
1 4 0.05234430595 0.10388110207 0.00455975498
2 8 0.01290908560 0.02576839806 0.00026916994
3 16 0.00321637817 0.00642965623 0.00001659105
4 32 0.00080341631 0.00160663903 0.00000103337
5 64 0.00020081172 0.00040161137 0.00000006453
6 128 0.00005020028 0.00010039981 0.00000000403
7 256 0.00001254989 0.00002509975 0.00000000025
8 512 0.00000313745 0.00000627494 0.00000000000
9 1024 0.00000078437 0.00000156871 0.00000000002
10 2048 0.00000019607 0.00000039220 0.00000000001
11 4096 0.00000004906 0.00000009793 0.00000000005
12 8192 0.00000001223 0.00000002455 0.00000000004
13 16384 0.00000000319 0.00000000619 0.00000000001
14 32768 0.00000000077 0.00000000132 0.00000000021
15 65536 0.00000000021 0.00000000038 0.00000000007
Эти результаты подтверждают теоретические выводы о том, что погрешности методов прямоугольников и трапеций пропорциональны , а метода парабол . Действительно, с уменьшением шага в два раза, величины и уменьшаются приблизительно в четыре раза, в величина - в шестнадцать. Кроме того, можно сделать вывод о том, что погрешности округления с увеличением числа операций не так явно нарастают, как в методах численного дифференцирования, рассмотренных в предыдущей работе. Очевидно методы численного интегрирования более устойчивы и способны подавлять возникающие ошибки.