10.Нахождение кривизны и кручения кривой в произвол. Параметризации.

Перейдем от заданной прям. r = r(s) к произ. параметру с помощью ф-ии допуст. изменение параметра S=S(t)=> r = r(s(t)) (!r – вектор !); r`=r<sub>точ</sub>*ds/dt; r``=(r *ds/dt)`_t =r_2точ*ds/dt* ds²/dt; r_точ=T=> r_2точ =T=kV(!k,V,B– векторы !); r``= kV(ds/dt)<sup>2</sup>+T* d<sup>2</sup>s/dt<sup>2</sup>; рассмотрим вект-ое произв. r`= T* ds/dt; r`×r``=T*d²s/dt*(``= kV(ds/dt)<sup>2</sup>+T* d<sup>2</sup>s/dt<sup>2</sup>) =(ds/dt)<sup>3</sup> * k(T*V)+ ds/dt* d<sup>2</sup>s/dt<sup>2</sup>*(Т*Т) => T*V=B, T*T=0(- это нулевой вектор!) т.о. r`*r``==k(ds/dt)³ * B=> ds/dt=|r`|=> r`*r``==k|r`|<sup>3</sup> * B è k=(| r`×r``|)/|r`|<sup>3</sup>;; найдем r```= (kV(ds/dt)<sup>2</sup>+T* d<sup>2</sup>s/dt<sup>2</sup>)`_t =k(-kT +HB)*(ds/dt)³+3kV* ds/dt* d²s/dt²+T* d³s/dt³ структурируем слагаемые по T,V,B - кооф. при Т через Р, V через q è r```=pT+qV+kH(ds/dt)<sup>3</sup><sub>B</sub> è(r`*r``)*r``` = k *|r`|<sup>3</sup>*b*( pT+qV+kH*|r`|³*B) т.к. B перп.Т и В перп. V èB*T=0, B*V=0, B*B=1è(r`×r``)*r```=(|r`× r``|)/|r`|<sup>6</sup> * k<sup>2</sup>*H*|r`|<sup>6</sup> è H = (r`r``r```)/(r` ×r``)

11-12. Плоские кривые.Исследования плоской кривой, заданной явным уравнен., параметрич. уравнениями.

Кривая наз-ся плоской если все ей т. принадлежат одной и той же плоскости.

Необх. И дост. Условие … явл Н=0, кручение =0.

На листочке

13. Ф. 2 и 3 перемен., их области определ.. Геометрич. образ Ф. z = f(x, у).

Z=f(x,y) если каждой паре зн-ии х и у независ.друг от друга переем. взятых из некторой области D поставл. в соответств. вполне определ. Знач. величины z то говорят, что на области D задана ф-ия двух перемен. z=f(x,y) Мн-во всех знач. переем. х и у для котор. z определ., назыв ОДЗ ф-ии или областью ее сущ.. Мн-во всех т пл-ти по отнош. к этой области D делятся на внутрен. и внешн.. Т. (х0, у0) назыв. внутренней т обл. D если для нее сущ-ет окр-ость к-ая целиком принадл. области D. 2) пд окр-тью точки (х0, у0) понимается все мн-во точек (х,у) расст. кот. до данной точке не привосх. заданного полож числа Е {((x,y):p(x0,y0),(x,y)))<E}; точка (х0, у0)назыв граничной т. для обл-ти D, если в любой окр-ти этой т нах-ся такие точки, кот принадлежат и не принад. этой обл-ти. Точка (х0, у0) назыв внешней т для данной обл-ти если для нее сущ. окрестностность, несодерж-ая точек обл-ти. Мн-во граничных точек – граница. Если обл-ть состоит только из внут-их точек она наз-ся открытой, если только из граничных то замкнутой. Область D назыв ограниченной если сущ. положит. число c>0, что данная обл-ть оказ-ся целиком внутри круга с центром в (0,0) и радиус. ровно С. Ф-ии 3-х переменных – если каждой тройке значении независим. м/у собой перемнных (х,у,z) посавленно в соответствии вполне определенное знач. велечин и то говорят на обл. D ={x,y,z} определена ф-я u= f{x,y,z} наз-ся обл допустим. знач здесь начинается мн-во этих знач x,y,z, для которых ф-я определ., эта область представляет собой некоторое заданное отностельно системы координат. Также как и на пл-ти мн-во точек пространства, отностиельно области D делятся на внутренние, граничные и внешние, при этом все определения остаются в силе, по под окрестностью точки (х0,у0,z0) будет явл не внутренность круга, а внутренность шара с радиусом = Е.

14.Задание скаляр. поля на мн-ве точек пл-ти и прост-ва.Линии и поверхности уровня. Если на некотор. обл. D задана ф-ия 2-х или 3-х перемен. Z=f(x,y), то говор. Что на этой обл. задано скаляр. Поле. (температура или давление) Для характер. скаляр. поля использ. линии уровня ф-ии Z=f(x,y) назыв. мн-во т.(х,у) в пл-ти Оху, удовлетв. усл. f(x,y)=С, f(x,y) предст. Проекц. в плоск. Оху линий пересеч. Поверх задан. Ф.Z= (x,y) Густота линии уровня характер. скор. измен. скалярн. Поля, чем гуще линии уровня, тем больше скор-ь изм. Поля.