1.Скалярное произведение векторов.

1) Скал произв a и b (a*b) наз произведение |a|*|b| на cos(a^b).

Векторное произведение Опред.: 3-ка некомплонарн. векторов наз. правой если поворот, от 1 век. ко 2-му виден из конца 3-го век. против час. Стрелки, и 3-ка век. наз. левой в противопол-м случае; Опред: 2) Векторным произведением векторов a и b называется новый вектор с, удовлетворяющий условиям: 1)Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b. 2)Вектор с перпендикулярен плоскости этого параллелограмма. 3)Он направлен так, что векторы a и b образуют правую тройку векторов. Век-ое про-е только в простр-е

3)Смешанным произведением 3 векторов a, b, c называют число, равное (a*b)c. Обозначается (abc)=(a*b)c. Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный вектор a*b умножается скалярно на третий вектор c. Релультатаом будет любое действит. число. Геометрич. смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х вект. равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах,

2-3. Векторн. Ф. скалярн. Арг. Предел.

Пусть задан числ. промежуток [a;b],(a;b),[a;b),(a,b],(-∞;∞)=I). Если каждому знач t из I(t€I) поставл в соответ вполне опредл вектор R, то говорят, что на I задан.векторн. Ф. от скал аргумента, r=r(t). Геом смысл: если в простр выбр прямоуг сист коорд, задав {o,i,j,k} и для кажд t соответ век-р отклад от нач коорд , то конец это вектр при измен t опишет в простр ектр мн-во т., ктр наз годографом данной вектр Ф

(1)Необх. И дост. Усл. Нахождения предела

Вект. А является пределом векторн. Ф. тогда когда составл. Этого вектора имеют своим пределом соответств. Корд. Вект. а

Правила нахождения пред аналог для нахожд числ Ф:1)Lim const вектора= этому вектору; 2) Lim “+”,”*” вектров=”+” или “*” Lim’ов вектр Ф;

(2)Непрерывность. Вект Ф r(t) наз непрер в точке t₀, t₀€I, если она определена в этой т. И ее Lim при t->t₀=знач Ф в данной точке. Lim r(t)=r(t₀). Ф r(t) непрер на всей D если она непр в кажд ее точке. Необх и дост услов непрерывности: r(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k непрер на I тогда и только тогда когда непр на этом ( ) ее сост

Св-ва непрер соотв для скаляр Ф: “+” непр вект Ф, все “*” явл Ф непрер. (3)Дифференцир:

Ф r(t) наз диффер в t₀, t₀€I, если сущ Lim[x->0](Δy/Δx) наз произв Ф в данной точке. Δr =r(t₀+Δt)-r(t₀). Необх. И дост. Такое же как и выше. Геом. Смысл – кривая. Правила нахожден. - Их 5

(4) Интерпритируемость. Для век-й Ф r(t) может быть определ ∫на [a,b]. ∫[a,b](r(t)dt, знач ктр сущ тогда и только тогда, когда сущ соотв ∫-ы от Ф сост лоя данной вектр Ф. r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k =>∫[a,b] r(t)dt=i∫[a,b](x(t))dt+j∫[a,b](y(t))dt+k∫[a,b](z(t))dt.

4. годограф,Гладкие кривые. если в простр выбр прямоуг сист коорд, задав {o,i,j,k} и для кажд t соответ век-р отклад от нач коорд , то конец это вектр при измен t опишет в простр вообще говоря нектр линию, ктр наз годографом данной вектр Ф. Коэфф при i,j,k наз сост данной вектр Ф. В общем случ разлож r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k здесь сост явл скал Ф от парам t. Вект задан линии соотв параметрич сист уравнений r(t)=aCOS(t)i+aSIN(t)j+btk.Здесь x=acos(t),y=asin(t),z=bt. Это значит, что при любой Z точке годограф будет проектир на окру € плоск ХУ в нач коорд О и с рад а. Поэтому все точки годогр распол на плоскости бок поверх цилиндра и будут распол на линии, котор накруч на цилиндр, т.к. z vj; приним люб знач с изменением t она созд винтов. Способы задания годографа: 1)векторная Ф;2)параметрич. сист.ур-ий;3)путем исключения парамтров. Кажд из этих Ур-й предст собой поверхность.

Годограф векторной ф-ии является гладкой кривой, если эта векторная ф-ия r(t) заданная на промежутке I удовлетворяет условиям: 1) r(t) имеет непрерывные производные любой точки промежутка до k-го порядка включительно, где k>=1; 2) произв. Вект. Ф при любом t из I <> нулевому вект., тогда кривая называется гладкой класса дифференц. или класса гладкости, который обознач. С^k, примеры:1) , где 1. является ли следующая линия гладкой -непрерывна, -непрерывна, k=∞, С^∞.

2. линия является гладкой классаС^∞.

2) , , при любом t следует винтовая линия, явл. гладким годографом класса С^∞.

Функция допустим. изменения пар-ра

Кривые заданные векторной Ф r(t) удовлетворяют определению гладкости от пар-ра t в задании кривой можно перейти к другому пар-ру с помощью Ф доп. изм. пар-ра. Опр: пусть векторная Ф r(t) задана на [a;b] опр гладкий гадограф,тогда Ф доп. изм. пар-ра наз-ся Ф t=f(u),[α;β] и удовлетворяет требованиям:1)f(u) имеет непрерывную производную до [k-ого] порядка,что и Ф r(t), т.е. принадлежит С^к. 2)f(u)не=0 для любого uЭ[α;β].3)f(α)=a;f(β)=b.4)r(f(u))=вектор (r₁)(г);вектор(r)(t) и вектор (r₁)(u). Т.о. от пар-ра t с помощью Ф r(t) перейти к A r₁(u) будет определять в пространстве один и тот же гадограф. Пример: вектор(r)(t)=a*cos(t)* (вектор i)+a*sin(t)*(вектор j)+0*(вектор k); tэ[o;2π]. Гадограф здесь окружность в Оxy. t= п-u задана на промежутке [П;-П] явл. Ф доп. изм. пар-ра для данной векторной Ф.1)Как сост. векторной Ф можно диф-вать бесконечное число раз пол. постоянную Ф так и f(u)=п-u тоже можно диф-вать бесконечное число раз пол.непрерывную Ф. Значит класс диф-ации С^{бескон.}.2)f’(u)=-1 не =0; 3)f(α)=f(-п)=п-(-п)=2п;f(β)=f(п)=п-п=0; f(u):[-п;п]à[0;2п].4)r₁(u):r(f(u))= a*cos(п-u)(векторi)+ a*sin(п-u)*(вектор j).