5.Касат.И норм. Плоск. В задан. Т.
Пусть гладкий годограф задан Ф r=r(t). В кажд произвед годогр напр вект касат-й явл r’(t). Если М0(t=t0), то прям определ (М0, r’(t)) наз касат к годографу в данной точке. Плоскость проход ч\з М0 перпенд касат наз норм плоскот к кривой в этой точке. Покажем, что направл касс в люб точке годографа не зависит от выбора парметра. Перейдем к пар U с пом Ф лопуст измен пармтр. Тогда тот же годор будет описываться Ф r1(u)=r(f(u)). Тот же годогр будет опис этой Ф. Направ касс-й опред I производ. Формула на листочке.
6.Длина дуги кривой.
r=r(t),tэ[a;b]. опред: Sm1m2, где м1(t1=a),m2(t2=b)
решение:
Для опред. кривой дуги впишем в кривую ломанную линию от м1 до м2.сумма от i=1 до n ∆Si
если число звеньев ломанной линии устремить к бесконечности(nà∞), а число макс. звена к 0, то в пределе длина такой ломанной линии будет стремится к длине кривой, кот. В итоге вычисл. По Ф.
Sﻥm1m2=∫[a;b](SQRT(x’t)2+(y’t)2+(z’t)2)*dt
замечание: длина дуги кривой не зависит от выбора параметризации кривой.
Естественный параметр кривой.
Длина дуги кривой вычисляется по формуле: см. выше; подинтегральная функция представляет собой |r’(t)|, Sﻥm1m2=∫[a;b](|r’(t)|)dt если верхний предел интегрирования сделать переменным то длина дуги будет ф-ей параметра (t). ∫[a;t](|r’(t)|dt=S(t). Исследуем св-ва S(t): примерно равно S’t=ds/dt=|r’(t)|>0; ds/dt>0; S(t)- монотонна – возрастающая ф-ия(т.к. S’(t)>0).
для такой ф-ии сущ-ет обратная ф-ия. t=t(s) производная dt/ds=1/(ds/dt)=1/(|r’(t)|)>0. t(s)-дифф-ема непрерывно, что и ф-ия S=S(t), а последняя столько же раз непрерывно дифф-ема ds/dt=|r’(t), r(t), ф-ия = t=t(s)= Cк и r=r(s)= Cк
- явл-ся ф-иями допустимого изменения параметра от t к S(параметру) тогда кривая задается r=r(t(s)). S – называется естественным параметром кривой. задание кривой в естественной параметризации облегчает исследование такой кривой. Например: направляющий вектор касательной в естественной параметризации явл-ся единичным(ортом). т.о. направляющий вектор касательной в естественной параметризации кривой явл-ся орта его обазначают вектором (тау) – первая производная векторной ф-ии.
7. Сопровождающ. Трехгран. Кривой.
Сопровождающ.
3-хгранник к годографу. Пусть год-ф
представляет собой гладкую кривую
заданной в естественной параметризации
где
S – ест. параметр. К каждой точке годографа
провед. Касательная, направление которой
явл. вектор 1 производной
:
;
вектор T является касательной (ед.
вектором).
Рассм. 1 произв.
,
по параметру S
по св-вам диф-ия(о
произв. вектора постоянного модуля)
;
;
-
вектор кривизны кривой в данной точке,
его модуль
;
К-кривизна прямой;
- орт вектора
;
;
(!!!: Далее
=n,
=V,
=T,
= B,!!!) n =kV; рассмотрим векторное произведение
T*V=B => |B|=|T|*|V|sin90 = 1; B
T:V
; (T:V:B)-правая тройка векторов – попарно
взаимоперпендикулярны, единичны,
определены в каждой т. кривой;
{M,T,V,p}-орторепер, у кот. ребрами являются
прямые, определяются т. М и вектором Т;
(M;T)-касательная, (M;V)-главная нормаль,
(M;B)-бинормаль – указанные прямые, в
каждой т. прямой определ. 3-х гранный
угол гранями кот. явл. следующие плоскости
Пл. T- нормальная пл. (M;V;В)
Пл. V- спрямляющая пл. (M;В;T)
Пл. В- соприкасающаяся (M;T;V) В каждой т. гладкой кривой, определен
3-х гранный угол, кот. называется сопровожд. трехгранником для данной кривой.