19 Нахождение волноводных мод с помощью потенциалов Герца.

Возьмем уравнения (2.69) и (2.75) для электрического и магнитного потенциалов Герца, в которых положим вектор электрической поляризации и вектор намагниченности равными нулю. Для электрического потенциала Герца получаем следующее уравнение.

(4.72)

Зная потенциал Герца можно найти электрическое и магнитное поле с помощью следующих формул.

(4.73)

Для магнитного потенциала Герца получаем следующее уравнение.

(4.74)

Зная потенциал Герца можно найти электрическое и магнитное поле с помощью следующих формул.

(4.75)

Анализ показывает, что для нахождения TM мод нужно использовать электрический потенциал Герца , а для нахождения TE мод нужно использовать магнитный потенциал Герца .

Далее, будем рассматривать монохроматические электромагнитные поля. Поэтому уравнения (4.72), (4.73), (4.74) и (4.75) несколько изменятся. Так TM – волны будут описываться следующими уравнениями.

(4.76)

Соответственно TE – волны будут описываться следующими уравнениями.

(4.77)

Электрическое и магнитное поле рассматривается в виде монохроматической волны бегущей вдоль волновода (4.11). В таком же виде будем рассматривать векторные потенциалы Герца.

(4.78)

Анализ показывает, для полного описания волноводных мод вполне достаточно рассмотреть векторные потенциалы Герца с одной продольной составляющей.

(4.79)

Подставляя формулы (4.78), (4.79) в уравнения (4.76) получаем систему уравнений для описания электромагнитного поля TM волноводной моды.

(4.80)

Анализ граничных условий (4.10) на металлической поверхности волновода и системы уравнений (4.80), подобно тому, как это проводилось выше, показывает, что для выполнения условий , необходимо потребовать выполнения следующего условия.

(4.81)

Условие (4.81) означает, что решать уравнение Гельмгольца из системы (4.80) надо в области D Рис.19 с граничным условием (4.81) в каждой точке границы l.

Рассмотрим картину электромагнитного поля в плоскости xy. В этой плоскости будем рассматривать двухмерные векторы электрического и магнитного поля.

(4.82)

Используя формулы (4.80) найдем скалярное произведение векторов электрического и магнитного поля (4.82).

(4.83)

Скалярное произведение (4.83) равно нулю. Это означает, что вектор электрического поля перпендикулярен вектору магнитного поля . Поэтому линии электрического поля и магнитного образуют семейство взаимно перпендикулярных линий.

Кроме того, из формул (4.80) видно, что вектор электрического поля пропорционален градиенту электрического потенциала Герца .

(4.84)

Отсюда приходим к выводу, что линиями магнитного поля являются эквипотенциальные линии.

(4.85)

Подставляя формулы (4.78), (4.79) в уравнения (4.77) получаем систему уравнений для описания электромагнитного поля TE волноводной моды.

(4.86)

Анализ граничных условий (4.10) на металлической поверхности волновода и системы уравнений (4.86), подобно тому, как это проводилось выше, показывает, что для выполнения условий , необходимо потребовать выполнения следующего условия.

(4.87)

Условие (4.87) означает, что решать уравнение Гельмгольца из системы (4.86) надо в области D Рис.19 с граничным условием (4.87) в каждой точке границы l.

Используя формулы (4.86) найдем скалярное произведение векторов электрического и магнитного поля в плоскости xy.

(4.88)

Скалярное произведение (4.88) равно нулю. Это означает, что вектор электрического поля перпендикулярен вектору магнитного поля . Поэтому линии электрического поля и магнитного образуют семейство взаимно перпендикулярных линий.

Кроме того, из формул (4.86) видно, что вектор магнитного поля пропорционален градиенту магнитного потенциала Герца .

(4.89)

Отсюда приходим к выводу, что линиями электрического поля являются эквипотенциальные линии.

(4.90)

Выразим усредненный вектор Пойнтинга через потенциалы Герца. Используем формулу (3.100). Поставим в нее электрическое и магнитное поле TM моды из формул (4.80), и в результате получим проекцию вектора Пойнтинга на ось z для TM волноводных мод.

(4.91)

Аналогично с помощью формул (3.100) и (4.86) получаем проекцию вектора Пойнтинга на ось z для TE волноводных мод.

(4.92)