1.Основные задачи сопромата. Объект исследования. Сопромат рассматрив.расчет отдельных, простых, наиб.частовстреч.элементовконструкций.При этом используются законы физики, матем., теормеха,а так же реальные св-ва материалов. Курсы сопромата изучают принципы и методы расчетов элем.конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.Прочность-способность элем.конструкции выдерживать нагрузки не разрушаясь.Жесткость- способность эл.констр.выд.нагр.существенно не изменяя свои размеры и формы. Устойчивость-спос.эл.кон.сохранять под действием нагрузки первонач.формуравновесия.В зависимости от размеров эл-ты констр.делятся на 3 группы:1.стержень(груз)-эл-т, у кот. один размер значительно больше других.Поперечноесеч.перпендик.продольной оси стержня. 2.Пластина(оболочка)- эл-т, у кот.один размер намного меньше двух других. 3.Массив- эл-т, у кот. все 3 размера соизмеримы.Основным расчетным объектом в сопром. явл.стержень.

2.Опоры и реакции опор. В следствии воздействия на эл-т конструкции внеш.сил в местах ее опирания на основание или в местах соединения одного эл.к. с др. возникают реакции опор. Они опред.типом опор: 1. шарнирнонеподвижнаяопора.возникают 2 реакции опоры; 2.Шарнирноподвижная; 3.Жесткая(защимление). Все реакции определ.изур-ния статики.

3.Нагрузки. Все внешние силы и воздействия можно разделить на след.виды: 1.Поверхностные и объемные.Поверхн.силы приложены к пов-ти тела. Объемные силы приложены к внутр. точкам тела(вес, сила тяж.. сила инерции); 2.Сосредоточенные и распределенные. Соср.силаF приложена к незначительному уч.пов-ти и поэтому считается приложенной в одной точке. Измеряется в Ньютонах. Распр.силарасполож.непрерывно на какой-либо площади. либо длине.характеризуется интенсивностью q. Интенсивность - величина распред.силы, приходящаяся на един.площади или длины(Н\м² или Н\м). Пример распр.нагр.:давление снега на крышу. Реальные силы невсегда могут быть сведены к сосредоточ.ираспредел.нагрузкам. Встреч.также нагрузки в виде сосредоточ.моментов. При составлении расчетной схемы силы к прод.оси стержня переносятся по правилам механики, т.е. переносят саму силу и момент, кот.она создает относ.оси.ИДЕТ 2 РИСУНКА. M₁=F₁*h₁(тоже самое с 2,3); 3. Статич. и динамич. Статич. силы прикладываются постепенно, медленно и достигнув пика остаются постоянными.Д.-приклад.резко, действие таких нагрузок сопровожд.возникновением сил инерции, кот. надо учитывать.

4.Деформации и перемещение. Любое тело под действием нагрузки деформируется, т.е. изменяет свою форму и размеры.Деформ.бывают упругими и пластич. Упр.деф.исчезают после снятия нагрузки. Пластич.(остаточная)-остается. Деф.бывают линейные(изменение линейных размеров тела) и угловые(измен.угловых размеров). ∆l- линейная деф. γ- угловая. Необходимо различать деф.и перемещение.2 РИС. 1.Деформируется весь стержень(удлиняется); 2. Деф.верхняя часть, а нижняя перемещается вниз.

5. Допущения принятые в сапром. Задача сопром.- создание надежных формул. Они сложные, поэтому принимают массу гипотез и допущений. кот. существенно не влияют на точность расчетов, но заметно их упрощают: 1.Материал тела имеет сплошное строение(без пустот и трещин); 2.М.тела однороден, т.е. обладает одинаковыми св-ми во всех направлениях; 3.М.т. изотропен, т.е. обладает одинаковыми св-ми во всех направлениях; 4.До определенной степени нагружения в материале присутствуют упругие деформации; 5.До опред.степ.нагруж.м.подчиняется закону Гука; 6.Плоские сечения, проведенные в теле до деф.остаются плоскими и посдледеф. Это гипотеза плоских сечений или г.Бернули; 7.Деф.эл.весьма малы по сравнению с размерами самого эл-та.Эта гипотеза позволяет применить принцип начальных размеров:размерыэл.до и после деф.одинаковы; 8.Принцип независимости действия сил: результат действия группы сил=сумме результатов действия каждой силы в отдельности.

6.Внутренние силы .Их определение методом сечений.РИСУНКИ. Под действием нагрузок в теле возникают внутр.силы, они объясняются упругими св-ми тела.Для их опред.используется метод сечений.Тело плоскостью рассекается на 2 части и рассматр.равновесие 1 из них.Для этого действие отброшенной части на оставшуюся заменяется внутр.силами ∆р. Силу можно перенести ll приложенной, но ее необход.уравновесить такой же, но против.по знаку, иначе приложить силу F₁ и пару сил(моментов). Перенесем в центр тяж.сечения все внутр.силы, где получим равнодействующую всех сил R и результирующий момент М. Разложим их по корд.осямх,у и получим 6 внутр.сил. N-продольная сила(направлена вдоль оси Z); Q_х ,Q_у –попереч.силы; М_х,М_у – изгиб.мом.(изгиб.продольную ось); М_к – крутящий мом.Всевнутр.силуопред.ур-ми статики:∑х,у,z,М_х,М_у,М_к=0.

7.8.Напряжение,его виды.Опред.внутр.усилий через напряж. Напряж.явл.меройвнутр.сил.Величинавнутр.силы, приходящаяся на ед.площ.попер.сеч. наз.напряж. В сеч.выделимэлем.площадку ∆А, по кот.действуетэл.внутр.сила ∆Р. Тогда =Р_ср.; Р_ср.- ср.напряж.по данной площадке. Уменьшая площадку до 0, т.е. переходя к пределу получим полное или истинное напряж.в данной точке. (Н\м²,Па). Усилие ∆Р можно разложить на 2 составляющие. РИС. ∆N – перпендик.составляющая площадки.∆Q- Касат.составл.площ. Тогда . -норм.наряж.-действует перпендик.площадке. . - касат.напряж.-действ.по касат.сечения. РИС. . Р-полное напряж.

9.Простые виды деф. В зависимости от условий загружения эл-ты конструкции могут испытывать след.простые виды деф.:1.Растяж.-сжатие. РИС. В попер.сеч.возникает только прод.силаN; 2.Сдвиг. РИС. В попер.сеч.возникаетпопер.силаQ ; 3.Кручение РИС. В попер.сеч.возник.крутящий мом. М_к; 4.Изгиб РИС. В поп.сеч.могут возн.2 поп.силы: сила Q и изгиб.мом. М_и.

10.Раст.-сж. Внутр.силы и эпюры. Раст.-сж.наз.такой вид деф. прямого стержня, когда в поп. сеч.еговозник.толькопрод.силаN, при этом внеш.силы или их равнодействующие действуют на стержень по его продольной оси.РИС.∑z=0. Для опред.прод.силы используют метод сеч. Стержень делится на уч.между точками прилож.сил.Рассекаетуч.пл-тью и мысленно отбрасывают 1часть груза. В сеч.прикладываютеизвестнуюпрод.силу. направляя еее в сторону отброшенной части, т.е. предполаг..что сила явл.растягив. Затем составл.ур-ние статики(∑всех сил на прод.ось =0)из кот.опред.N. Прод.силаN в сеч. числ.=алгебр.∑внешн.сил,действующих по 1 стор.от сеч. Знак + подтвержд., что на уч.происх.растяж. Чтобы наглядно видеть места с наиб.N строится эпюра- график изменения того или иного фактора того или иного стержня.По эпюре N нельзя судить о прочности стержня.

11.Напряж.впопер.сеч.прираст.-сж. Рассмотрим нагруженный стержень.Впопер.сеч.выделим эл-ную площадку dA, по кот.действует норм. напряж. .РИС.Кас.напряж.при раст.или сжатии =0. Прод.сила связана с норм.напряж. выражением: . - эл-ная норм.сила. Для опред.напряж. необход.знать закон распред.его в попер.сеч.РИС.Проведем эксперимент: На пов-ти прямого бруса проведем ряд ll линий РИС. После деф.линии не искривились и точки на высоте сеч.перемещаются на одну и ту же величину.Можно предположить, что внутри тела такая же картина, т.е. плоские попер.сеч.додеф.остаются плоскими и после деф.Это есть гипотеза плоских сеч.илиг.Бернули. Т.К.точки перемещаются на одну и ту же величину и сеч.остается плоским, следовательно напряж.по высоте остается постоянным. , . - норм.напряж.в попер.сеч.при раст.и сжатии.

12.Деформ.при раст.-сж. При раст.-сж. происходит изменение линейных размеров тела и его V (объема).РИС. ∆l=l₁-l - абсолют.продольнаядеф. - относит.прод.деф. ∆b=b-b₁ – абсолют.поперечнаядеф. - относит.попереч.деф. Между относит. и продольной деф.опятным путем установлена зависимость: . – коэффиц.Пуассона – характеризует способность материала сопротивляться попереч.деф. ; - для пробкового дерева, - для стали, - резина.

14. Определим абсолют.иотносит.изменения объема. До деф.: V=Al=b²l. После деф.: V₁=A₁l₁=b₁²l₁=b²(1- )² *l(1+ ); l₁=l+∆l₁=l(1+ )=l(1+ ); b₁=b-∆b=b(1- )=b(1+ ₁)=l(1- ) Т.к. = . V₁=V(1- ²(1+ )= V(1²-2 + ^{2 2})(1+ )= V(1+ ^{2 2 2}+ ³ ³)=принебрегаем величинами высшего порядка малости= V(1+ )= V+V . Абсолютнообъемная деф. ∆V=V₁-V=V ; Относ.объемн.деф.: . При растяж. объем тела увелич. При сж.-уменьш. Если , то изменения V не происходит.

13.Связь между напряж.идеф. Впервые эту зависимость опытным путем установил англ.ученый Гук. - закон Гука в виде напряжения:выражает пропорциональную зависимость между напряж.идеф. Е-модуль продольной упругости или модуль Юнга. Характериз.способность материала сопротивл.продольнымдеф. Величина постоянная для материала. Опред.опытным путем. Как и напряж.измеряется в Па. Для стали Е=200ГПа, для дерева Е=10ГПа. Чем больше Е, тем меньше материал деформируется. Представим з.Гука в др.виде. Выделим эл-ный уч. длиной dz, а деформир.длинойdz+∆dz. РИС. Т.к. , то ; dz – элемент.удлинение. – полное удлин.стержня переменного попереч.сеч. - З.Гука в виде деф. или полное удлин. стержня постоянного попер.сеч. ЕА- жесткость при растяж.-сж.

15. Диаграмма растяж. Мех.хар-ки прочности и пластичности. Необходимы для расчета эл-тов конструкции на прочность и жесткость.Основным опытом для получения мех.х-к для пластичных материалов есть испытание на растяж.для этого изготавливаят стандартные образцы. -десятикратные. Машина автоматич.записывает диаграмму в зависимости между растяг.силой F и удлинением образца . Диаграмму представляют в др.виде:по оси ординат отклад.норм.напряж. , а по оси абсцисс-отклад.относ.удлин. Где l₀-первонач.длина, А₀- первонач.площадьпопер.сеч. РИС.Этудиагрвмму называют диагр.условныхнапряж.Т.к. А₀ принимается постоянной в процессе опыта. РИС.-диаграмма истинных напряж. Мех.х-ки прочности: 1) _pr –предел пропорцион. 2) _e – пр.упругости. 3) _y– пр.текучести.4) _u- пр.прочности. Опред.по формуле: . На участке 0-1 при приложении нагрузки деф.растут пропорц.напряж., т.е. выполняется з.Гука, т.1 соответствует пределу пропорц.наиб.напряж., для кот. справедлив з.Гука. 0-1^, материал испытывает только упругие деф. т.1^,соответств.пред.упруг.- наиб.напряж.,при кот. появляются остаточные деф.- _r Если нагрузку увелич.дальше наступает такой мом.,когдадеф.растутпрактич.безувелич.нагрузки. Гориз.уч.надиагр.наз.уч.текучести. Напряж.при кот деф.увелич.безувелич.нагрузки наз.пр.текуч.(т.2) на отполированной пов-ти образца в процессе текучести появляются линии сдвига (линии Людерса-Чернова). Они наклонены к оси образца на 40⁰-50⁰. Претерпев состояние текучести материал снова может сопротивл.нагрузке и диагр.вновь идет вверх, т.3 соотв.пр.прочности-наиб.напряж.,при кот. материал начинает разрушаться. На образце появл.резкое местное сужение сеч.,такназ.шейка. Площадь сеч.в шейке быстро уменьшается, напряж.падает, разрыв происх.в т.4. Мех.х-ки пластич.:1. Относит.остаточноеудлин. _r= *100%. Чем пластичнее матер., тем _r; 2. Относ.остат.сужение _r= *100%; l₁- длина после разрыва; А₁- площадь попер.сеч. в наиб.тонком месте мейки после разрыва. Т.к.истинная площадь А₀, то диагр. истин.напряж. идет выше д.услов.напр. Рассмотр.д.растяж.явл.хар-кой для пластичных материалов(медь, алюм.) Пластич.материалы- матер.способ.получатьзначит.остат.деф. не разрушаясь. Противополож.св-вомпластич.явл.хрупкость. Т.е. способность материала разрушаться при незначит.остат.деф. К хрупким относятся бетон.стекло. Если для опред.мех.х-к пластич.мат. использ.растяж., то для хрупких использ.сжатие.

17.Расчет на прочность по допуск.напряж. Суть метода состоит в том, что наиб.напряж.,возник.под действием нагрузок не должны превышать допуск.напряж. для материала из кот.выполнен эл-нтконстр. _max= - усл. прочности. -допуск.напряж.; . _оп- опасное напряж.для мат. _оп= _у –для пластич.мат.=пред.текучести.Для хрупких _оп= _u; N- коэф. запаса прочности.учит.общее для всех констр. факторов: неоднород.мат., неточность подсчета нагрузки, неточ.изготовление и т.д. Метод жоп.напр.испол.сейчас лишь в машиностроении. Его недостаток-общий коэф.запаса для всех видов сооруж.,хотя усл.работы разные. Для пластич.мат. одинаково сопротивляющ.растяж.и сж.,запис.1 усл.прочности. Хрупк.мат.хорошораб.насж.,плохо на растяж.Тогдаусл.прочности: _{max раст.} ; такое же на сж.

18. Расчет на прочность по пред.сост. Метод использ.встроит.иявл. более прогрессивным. Здесь использ.рядкоэф.,каждый из кот. учитывает тот или иной фактор,чтопозвоняет сделать более правильный расчет. Предельным наз.сост.констр.,когда она перестает удовлетв.эксплуатац.требованиям.Сутьметода:не допускать предельного сост., кот.бывает 3х видов:1.наступает исчерпание несущей способности;2.возникают большие общие деф.;3.возникают чрезмерные местные деф.(трещины) Усл.прочн.: _max R- при раст.-сж.Наиб.напряж.,возник.в эл-те констр.не должны превышать расчетного сопротивл.мат. N.В этой фор-лепрод.силаN считается от расчетной нагрузки R. Расчетная нагруз.получ.умножением нормативной нагруз.накоэф.перегрузкиn. F=F^H*n. n-учитыв.возмож.отклон.нормат.нагр.встор.увелич.Нормативн.нагр.устанавл.нормат.документ.иприним.близкой к нагруз.принорм.эксплуат.здания. R= ; R^H- норматив.сопрот., - коэф.надежн.по мат. - учитывает неоднород.мат., R^H=пред.тек.дляпластич.мат.( _y) и = _u- для хрупких. Вводятся и др.коэф. при расчете сооруж.: - коэф.условий работы, -коэф.надежности по значению сооруж.

19. Статически неопределимые системы – если с помощью уравнения статики можно определить внутр. силы. Степень статической неопределимости – разность между числом неизвестных (внутр. сил и реакций опор) и число возможных реакций статики. Для раскрытия статической неопределимости составляются дополнительные уравнения. Существует несколько способов раскрытия статической неопределимости. Наиболее простой – метод сравнения деформаций, основанный на принципе совместимости перемещений, т.е. неразрывности системы при ее деформации.систему представляют в деформированном состоянии и дополнительное уравнение составляется из геометрич. Зависимости между деформациями ее отдельных элементов. Раскрытие статической неопределимости рассмотрим на примере: рис. Дано: ;площади: модули упругости: . Для определения внутренних сил выражаем узел центра. Рис. Для системы сходящихся сил составляется 2 уравнения статики: 1) ; 2) . Система 1 раз статически неопределима. Необходимо составить дополнительное уравнение, рассмотрев деформацию системы под действием силы F. Рис. Узел C перемещается вниз.поскольку деформации незначительны, будем считать что угол не изменился. 3) – дополнительное уравнение. По закону Гука т.к. ;

; подставляем в уравнение статики и находим . Т.о. находится статически неопределимые системы. В статически неопределимых системах усилия зависят только от внешн. Нагрузок и угла α. В статически неопределимых системах усилия зависят так же от соотношения жесткостей. При повышении жесткостей некоторых элементов увеличиваются усилия в них и обычно уменьшаются усилия в остальных элементах. Статически неопределимый стержень: стержень защемлен обеими концами. Рис. Под действием нагрузки стержень деформируется, возникают реакции опор. Для данной системы составляется одно уравнение статики Система 1 раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределенности необходимо составить дополнительное уравнение исходя из принципа совместности перемещений его участка. Для проведения расчета выбирается статически определимая система, которая получается из статически неопределимой путем удаления лишней связи(опоры). Основная система загружается внешн. силой и реакцией удаленной опоры. Отбросим лишнюю опору. Рис. Смысл совместимости перемещений заключается в том, что в основной системе под действием внешн. сил и реакции сумма реакций всех участков =0 и перемещение сечения А =0. . 2) . Аналогично путем отбрасывания верхней опоры определим реакцию . Рис. ; ; ; . Проверка: подставляем уравнение статики

21. Монтажные напряжения. В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешних сил. Например, в результате изменения температуры смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции. Предположим нужно собрать стержневую систему из 3 стержней равной длины. Однако при изготовлении средний стержень оказался короче проектной длины на . Рис. При сборке средний стержень удлинился на величину равную . Крайние стержни сожмутся на и . Рис. Для системы параллельных сил составляются 2 уравнения статики 1) ; 2) . Подставляем в 1 уравнение: . Система 1 раз статически неопределима. Составим дополнительное уравнение, рассмотрев деформацию системы: 3) ; ; ; ; ;

22. температурные напряжения. В статически неопределимых системах определение темпер.не вызывает температурного напряжения т.к. система свободно деформируется. Рис. Изменение темпер.влечет за собой появление напряжений. Рис. При изменении темпер.на стержень стремится удлиниться и надавит на плоскости закрепления ⇒возникнут реакции опор. Рассм. ступенчатый стержень защемленный с 2ух сторон. Рис. Где -коэфициент линейного расширения материала. Составляем уравнение статики: 1) . Составим дополнительное уравнение из перемещения системы. Отбросим правую опору. Рис. - -деформация участка стержня под действием темпер. ; ; . для определения температурного усилия необходимо воспользоваться методом сечения. Рис. найдем температурное напряжение

23. Потенциальная энергия упругойдеф-ии при растяжении сжатии.

Внешние силы, приложенные к телу, совершают работу на вызванных ими перемещениях. Рассм. брус, растянутый силой F на величину . Построим диаграмму раст-я на участке выполнения з-на Гука. На участке статическогонагружения сила медленно возрастает от 0 до F и совершает работу W. Работа, затраченная на упругую деформацию накапливается в теле в виде потенциальной энергии. При снятии нагрузки за счет потенциальной энергии образец возвращается в первоначальное состояние. Тогда: W=U. Из диаграммы видно, что в пределах упругой деф-ии работа, а значит и потенциальная энергия = площади диаграммы растяжения, которая в упругой стадии имеет вид треугольника. W=U= . Подставим вместо F равную ей силу N, вместо . – потенциальная энергия в брусьях постоянного поперечного сечения. Если стержень переменного сечения, то надо интегрировать по всей длине. – элементарная энергия на элементарном участке. Полная энергия: . Потенциальная энергия, отнесенная к единице объёма наз-ся удельной потенциальной энергией: =

24. Учет собственного веса.

Собственным весом короткого или тонкого элемента можно пренебречь. У длинных или массивных эл-в конструкции собственный вес становится соизмеренным с полезной нагрузкой. Рассм. стержень постоянного поперечного сечения. Найдем напряжение в сечении 1-1 на расстоянии z от начала бруса с учетом его веса. – напряжение от внешней нагрузки. Вес в ед. объема = , тогда вес зачеркнутой части: Q= . Полное напряжение: . Эпюра распределения напряжений по длине бруса. (рис) Найдем деф-ю бруса от собственного веса. Выделим элементарный участок dz. . , удлинение элементарного участка от нагрузки и собственного веса. Общее удлинение стержня: Вторая часть выр-я представляет собой деф-ю от собственного веса, которую зап. Условие прочности с учетом собственного веса:

25. Сдвиг. Определение. Внутренние силы, напряжение, Условие прочности.

Деф-я сдвига возникает и при простомраст-сж-ии, если растягивать образец усилием N, то по наклонным сечениям будут возникать нормальные и касательные напряжения. От нор.напряжений заштрихованный элемент раст-ся. А от кос-х сдвигается. Деф-ию, близкую к чистому сдвигу наблюдают при разрезе металла ножницами. Рассмотрим чистый сдвиг. Деф-я чистого сдвига появляется при действии равных и противоположно направленных сил, ных продольной оси стержня. (рис). В большинстве случаев сдвиг сопровождается побочнымидеф-ми. Влияние последних часто бывает незначительным ими пренебрегают. В данном случае изгибающим моментом Fa можно пренебречь, т.к. a мало. На сдвиг работают заклепки, болты, швы электросварки.

При чистом сдвиге в поперечном сечении возникает поперечная сила Q. При ее определении отбрасываем правую часть стержня и рассм-м равновесие левой. (рис) . Поперечная сила в сечении численно = сумме проекций на сечении всех сил, расположенных по одну сторону от сечений.

Поперечная сила приводит к образованию в сечении зоны сдвига кос-х напряжений. В сечении выделим площадку dA, тогда - элементарная внутренняя сила. . Считается, что касательное напряжение распределяется по сечению равномерно. .

Условие прочности: . где Q-сдвигающая сила, А-площадь среза, – расчетное сопротивление на срез или сдвиг.