2) Статистическое имитационное моделирование

Статистическое имитационное моделирование основывается на генерации случайных величин, имитации функционирования системы и статистической обработке результатов моделирования. Методом моделирования может быть исследована СМО любой степени сложности.

Для проведения моделирования могут использоваться как универсальные языки программирования так и проблемно-ориентированные - GPSS, SIMULA и др.

Параметры функционирования системы оцениваются при моделировании по результатам многократного обслуживания требований (многократных испытаний). При имитации работы системы случайные величины (длительность обслуживания в каналах, интервалы между поступлениями требований, время возврата требований в систему, моменты возникновения отказов каналов и их длительность и др.) получают генерацией по ранее приведенным алгоритмам в зависимости от вида распределения (закон, усечение, смещение).

Число обслуживаний (опытов) необходимо принимать таким, чтобы обеспечить оценку интересующих параметров с заданной точностью при принятой доверительной вероятности.

Таким образом, определение числа опытов производится по аналогии с расчетом размера выборки для исследования случайных величин. При этом это число рекомендуется определять в ходе моделирования на основе оценки точности рассчитываемых параметров.

Алгоритмы моделирования ранее рассмотренных систем массового обслуживания приведены на рисунках 2.18 и 2.19. Число моделируемых обслуживаний определяется на основе формулы для нормального закона распределения, а в качестве интересующего показателя принята средняя продолжительность ожидания требованием начала обслуживания. Отноcительная точность оценивания задана равной  с односторонней доверительной вероятностью = 0.95 (квантиль равна 1.645).

Структура алгоритмов следующая:

блок 2– ввод и вывод на принтер исходных данных;

блоки 3-6 – формирование начальных условий моделирования;

блоки 7-10 – поиск канала (источника) с минимальным значением момента времени освобождения от предыдущего обслуживания (прибытия на обслуживание);

блоки 11-18– имитация обслуживания требований и накопление сумм длительностей времени простоев и обслуживания;

блоки 19-21– принятие решения об окончании моделирования или его продолжении;

блок 22 – наращивание номера опыта (испытания);

блоки 23-24 – вычисление средних значений параметров и вывод их на монитор (принтер).

56.Генерация случайных чисел по экспоненциальному закону распределения

Закон рас-пределения	Получение случайных чисел для базового закона	Получение случайных чисел для усеченных (xн<x<xв) или сдвинутых распределений (x>xc)
Экспонен-циальный	= 1/xм	Для сдвинутого с= 1/(xм -xc)

Генерация случайных чисел основана на том, что интегральная функция распределения F(x) ставит в соответствие любому заданному числу х вероятность от 0. до 1. Тогда наоборот некоторому значению F(x), равному, например r , соответствует определенная величина x (рисунок 2.14):

х = F^-1(r ),

где F^-1 – функция, обратная F.

1.0

F(x)

0.80

0.60 r

0.40

0.20

x_r x

Рисунок 2.14 – Графическая интепретация получения случайных чисел по заданному закону распределения

Отсюда следует способ формирования случайных чисел с заданным законом распределения, называемый методом обратных функций. Метод реализуется как по функциональным, так и аппроксимирующим зависимостям. При этом значения r должны быть распределены в интервале 0. – 1. случайно по равномерному закону.

Для нормального закона распределения применяется также метод, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой большое число n независимых случайных чисел с одним и тем же распределением вероятностей дает нормально распределенные числа с математическим ожиданием, равным сумме этих чисел и геометрической суммой среднеквадратических отклонений:

; .

Формулы для получения случайных чисел по некоторым законам распределения приведены в таблице 2.1.

Псевдослучайные равномерно распределенные числа в интервале 0. – 1.0 можно получать по специальным алгоритмам или применить стандартные функции и подпрограммы языков программирования – RND (Basic), RANDOM (Pascal), RAN, RANDU (Fortran – функция и подпрограмма). Генерируемая последовательность может задаваться с помощью оператора, например RANDOMIZE.

57.Генерация случайных чисел по различным законам распределения

Генерация случайных чисел основана на том, что интегральная функция распределения F(x) ставит в соответствие любому заданному числу х вероятность от 0. до 1. Тогда наоборот некоторому значению F(x), равному, например r , соответствует определенная величина x (рисунок 2.14):

х = F^-1(r ),

где F^-1 – функция, обратная F.

1.0

F(x)

0.80

0.60 r

0.40

0.20

x_r x

Рисунок 2.14 – Графическая интепретация получения случайных чисел по заданному закону распределения

Отсюда следует способ формирования случайных чисел с заданным законом распределения, называемый методом обратных функций. Метод реализуется как по функциональным, так и аппроксимирующим зависимостям. При этом значения r должны быть распределены в интервале 0. – 1. случайно по равномерному закону.

Для нормального закона распределения применяется также метод, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой большое число n независимых случайных чисел с одним и тем же распределением вероятностей дает нормально распределенные числа с математическим ожиданием, равным сумме этих чисел и геометрической суммой среднеквадратических отклонений:

; .

Формулы для получения случайных чисел по некоторым законам распределения приведены в таблице 2.1.

Псевдослучайные равномерно распределенные числа в интервале 0. – 1.0 можно получать по специальным алгоритмам или применить стандартные функции и подпрограммы языков программирования – RND (Basic), RANDOM (Pascal), RAN, RANDU (Fortran – функция и подпрограмма). Генерируемая последовательность может задаваться с помощью оператора, например RANDOMIZE.

58.Вычисление статистических моментов

д) Определить числовые характеристики выборки: начальные _k и центральные статистические _ck моменты k -го порядка и рассчитываемые через них параметры – оценки математического ожидания x_m, выборочной дисперсии s², среднеквадратического (стандартного) отклонения s, коэффициентов вариации V и сдвинутого (смещенного) распределения V_c, коэффициентов асимметрии A и эксцесса E

;

;

;

1.0

F_э

0.6

0.4

0.2

X_min X_max x

X₀ X₁ X₂ X_J (j=N)

Рисунок 2.11 – График эмпирической функции распределения (пример)

или или ;

;

V= s / x_м ;

V_c= s /( x_м - x_c );

;

.

Поправочные коэффициенты k_с, k_а и k_е служат для получения несмещенной оценки параметров и определяются по формулам:

k_с = n / (n-1);

k_а = n² / ( n ² - 3 n + 2 );

k_е ≈ 1.

59.Вычисление основных характеристик эмпирического распределения случайной величины

Одним из возможных алгоритмов расчета характеристик эмпирического распределения непрерывной случайной величины является следующий:

а) по результатам наблюдения (замеров) необходимо получить заданное число n значений исследуемого параметра для процесса, явления, предмета;

б) составить интервальные статистические ряды распределения частот и частостей полученных значений случайной величины:

1) найти в выборке минимальное Х_мin и максимальное Х_мах значения случайной величины и размах варьирования Х_р=Х_мах-Х_мin;

2) определить число интервалов N разбиения случайной величины

N_п = 1 + int(3.32 lg n);

N= max (N_п; 5),

где n – размер выборки случайной величины;

3) рассчитать длину интервала h

h = Х_р / N ;

4) определить границы Х_j (верхнюю), Х_j-1 (нижнюю) и середину Х_сj каждого j-го интервала распределения случайной величины ( )

X_j = X_мin + j h ; X_j-1 = X_мin + (j-1) h;

X_сj = (X_j-1 + X_j)/2 .

5) подсчитать число попаданий случайной величины в каждый j-й интервал (частоты М_j), для чего пересмотреть все числа x_i ( ) относительно границ интервалов

М_j = М _j + 1 , если X _j-1  x_i < X _j при ;

М_j = М _j + 1 , если X _j-1  x_i  X _j при j = N;

6) определить частости (эмпирические вероятности) p_эj попадания значений случайной величины в каждый из интервалов путем деления соответствующих частот на объем выборки n, т.е. p_{эj =} М_j / n. Сумма всех частот равна объему выборки

,

а сумма частостей p_эj соответственно равна единице.

7) представить интервальные статистические ряды в виде массивов

Номер интервала, j	1	2		N
Нижняя граница Xj-1	X0	X1		XN-1
Верхняя граница Xj	X1	X2		XN
Середина интервала Xсj	Xс1	Xс2		XcN
Частоты Mj	M1	M2		MN
Частости pэj	pэ1	pэ2		pэN

в) Построить гистограмму или полигон эмпирического распределения

Для построения гистограммы по оси х откладывают границы интервалов значений случайной величины и для каждого из интервалов строится прямоугольник, высота которого равна частному от деления частости данного интервала на величину интервала: f_эj= p_эj/h, где f_эj – эмпирическая функция плотности вероятности. Полигон строится также по значениям f_эj, но на серединах интервалов в виде ломаной линии (рисунок 2.10).

1

0.25

f_эj

0.15

0.10 2

0.05

X_мin X_max х

X₀ X₁ X₂ X_j (j=N)

Рисунок 2.10 – Гистограмма (1) и полигон (2) эмпирического распределения (пример)

г) определить значения эмпирической функции распределения и построить ее график

(рисунок 2.11). При этом ( j=0).

д) Определить числовые характеристики выборки: начальные _k и центральные статистические _ck моменты k -го порядка и рассчитываемые через них параметры – оценки математического ожидания x_m, выборочной дисперсии s², среднеквадратического (стандартного) отклонения s, коэффициентов вариации V и сдвинутого (смещенного) распределения V_c, коэффициентов асимметрии A и эксцесса E

;

;

;

1.0

F_э

0.6

0.4

0.2

X_min X_max x

X₀ X₁ X₂ X_J (j=N)

Рисунок 2.11 – График эмпирической функции распределения (пример)

или или ;

;

V= s / x_м ;

V_c= s /( x_м - x_c );

;

.

Поправочные коэффициенты k_с, k_а и k_е служат для получения несмещенной оценки параметров и определяются по формулам:

k_с = n / (n-1);

k_а = n² / ( n ² - 3 n + 2 );

k_е ≈ 1.

60.Оценивание коэффициентов временного ряда Фурье

Временные ряды с периодическими изменениями наиболее часто описываются рядом Фурье. Таким периодическим изменениям подвержены многие физические и экономические явления, связанные с сезонной, недельной, суточной и другой изменчивостью. Например, имеется такая изменчивость по дням недели для транспортной подвижности населения и нет зависимости от дня недели для температуры воздуха. Выражения, связывающие фактор (время) и зависимую переменную, имеют следующий вид:

или

,

где y _тi – значение теоретической функции в i-й расчетной точке;

a_о – свободный член уравнения;

n – верхнее значение номера гармоники ряда Фурье;

k – номер гармоники;

a_k , b_k – коэффициенты ряда Фурье при k-й гармонике соответственно при cos и sin;

t _i – значение фактора (времени) в i-й расчетной точке;

T – интервал времени, за который рассматривается временной ряд;

m – общее число чисел во временном ряду.

Вторая формула может применяться только для случая, когда показатели зафиксированы через равные интервалы времени, а первая – в любом случае.

Параметры (коэффициенты) уравнений определяются соответственно по следующим зависимостям:

или

;

или

,

где y_эi – экспериментальные значения зависимой переменной в i-х расчетных точках.

Проверка адекватности полученного уравнения (многочлена ряда Фурье) экспериментальным данным производится по критерию Фишера и средней линейной ошибке аппроксимации. При этом при расчете числа степеней свободы под числом факторов понимается число использованных гармоник ряда Фурье.

При проведении расчетов номера гармоник, включаемые в уравнение, рекомендуется принимать адаптивно по максимуму значения статистики критерия Фишера F или минимуму средней линейной ошибки аппроксимации E. Гармоники, которые вызывают уменьшение значения F или увеличение значения E, не включаются в модель связи. При этом верхнее значение номера гармоник не должно быть больше чем m/2.

Компьютерная программа выравнивания динамических рядов с помощью многочлена ряда Фурье приведена в приложении 6.

61.Шаговые методы одномерной безусловной оптимизации

Среди численных находят применение следующие методы: дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи, шаговые и аппроксимации кривыми.

Шаговые методы основаны на том, что текущему приближению к решению x_п на каждом новом шаге дается приращение h как x_п=x_п+h и вычисляется f(x_п). Если новое значение целевой функции "лучше" предыдущего, то переменной x дается новое приращение. Если функция "ухудшилась", то поиск в данном направлении завершен.

Имеется ряд разновидностей шагового метода поиска экстремума целевых функций (прямой поиск, поразрядного приближения, Зейделя и др.).

Графическая интепретация и алгоритм поиска экстремума функции на основе поразрядного приближения приведены на рисунках 3.6, 3.7.

f(x)

f(x_п+h)

f(x_п) На минимум

x_п x_п+h x

Рисунок 3.6 – Графическая интепретация метода поразрядного приближения

62.Представление постановки транспортной задачи линейного программирования в табличной форме