1. Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Принцип Гюйгенса. Интенсивность волны. Стоячие волны.

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.

Уравнение плоской волны.

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. описываются уравнением Х = Аsin wt.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже в течение времени t, то частица С колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для частицы С будет Х = Аsinw(t – t) , t =y/V, где V - cкорость распространения волны. Тогда Х = Аsinw(t – y/V) – уравнение волны l = VT = V/n ; V = l/T ; w = 2p/T =2pn получим Х = Аsin2p(t/T – y/l) = Asin2p(nt –y/l) = Asin(wt -2py/l)= Asin(wt - кy), где к = 2p/l -волновое число. Если поменять оси координат, то y(x,t) = Asin(wt ± kx).

Принцип Гюйгенса

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1; Согласно Гюйгенсу:

1)каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна.

2)Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде.Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний

.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется

интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии E, переносимой волною сквозь площадь S_┴., перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади. I = E/∆t∙S_┴ ; I=E, если ∆t=1 и S_┴=1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт/м²).Тогда энергия колебания среды в единице объема равна Е = n₀mw²A²/2 = rw²A²/2, где r =n₀m. Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см² переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см² и высотой, равной V, следовательно интенсивность I =EV = rVw²A²/2.

T.е. интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны. Y(x,t) = Asin(wt – kx) + Asin(wt + kx) = 2Asin wt coskx = B(x) sinwt – уравнение стоячей волны.

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной.

Амплитуда В зависит от координаты х: В(х) = 2А cos kx = 2Acos2px/l. В тех точках, где 2px/l = np (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны. Координата пучности равна х_n = ±nl/2. В точках, где 2pх/l = ±(n+1/2)p, амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел.