- •Ен.Ф.01 математика
- •Вопросы для самопроверки 10
- •Введение
- •1 Производная функции
- •Вопросы для самопроверки
- •2 Приложение производной к исследованию функции и построению ее графика
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •3 Неопределенный интеграл
- •3.1 Метод замены переменного
- •3.2 Интегрирование по частям
- •3.3 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •3.4 Интегрирование рациональных дробей
- •3.5 Вопросы для самопроверки
- •4 Определенный интеграл
- •4.1 Основные свойства определенного интеграла
- •4.2 Правила вычисления определенного интеграла
- •Интегрирование по частям:
- •Приложения определенного интеграла
- •4.3.1 Вычисление площадей плоских фигур
- •4.3.2 Вычисление объемов тел вращения
- •4.3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •4.4 Вопросы для самопроверки
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Задача №9
1 Производная функции
Понятие производной функции является одним из основных в математике и широко применяется в различных областях науки и техники.
Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю произвольным образом.
.
Процедура отыскания производной называется дифференцированием функции.
Справедливы следующие правила дифференцирования:
1. (с) =0 2. (u+v) =u +v 3. (uv) =u v+uv
4. (сu) = сu 5. .
На основе этого определения могут быть выведены формулы для производных основных элементарных функций:
1. , в частности: ;
2. , в частности: ;
3. , в частности: ;
4. ; 5. ;
6. ; 7. ;
8. ; 9. ;
10. ; 11. .
Особый интерес представляет производная сложной функции.
Если у=f(u), где u= , тогда у .
Пример 1 Найти производную функции: .
Решение.
Используя правило дифференцирования сложной функции, а также формулу нахождения производной степенной функции, получим:
.
Пример 2 Найти производную функции .
Решение.
Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций и формулами нахождения производной от показательной и логарифмической функции.
= = = =
= .
Пример 3 Найти производную функции: .
Используем правило дифференцирования дроби и формулы нахождения производной от и степенной функции.
=
Пример 4 Найти производную функции: .
Решение.
При нахождении производной неявно заданной функции продифференцируем обе части уравнения по переменной , имея в виду, что есть функция от и выразим из полученного линейного относительно уравнения.
Если функция задана параметрическими уравнениями, то ее производная по переменной находится по формуле .
Пример 5 Найти производную функции:
Решение.
Поскольку , , то
.
Пример 6 Найти производную функции: .
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования, для чего логарифмируем заданное выражение по основанию « », потом дифференцируем и находим у .
.
Дифференцируем:
=
=
Находим из полученного уравнения у :
.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется производной функции?
Каковы правила нахождения производных от суммы, произведения, дроби, от постоянной величины?
Как найти производную сложной функции?
Правило дифференцирования функции, заданной неявно.
В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?
2 Приложение производной к исследованию функции и построению ее графика
Методы дифференциального исчисления позволяют исследовать функции и строить их графики. Так, по знаку первой производной в интервале можно определить возрастание (убывание) функции, делать выводы о наличии или отсутствии экстремума функции. По знаку второй производной выделяем интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба ее графика.
Справедливы следующие теоремы:
Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
Если дифференцируемая функция = имеет экстремум в точке х , то ее производная в этой точке равна нулю: .
Если непрерывная функция = дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки х и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то х - точка максимума; с минуса на плюс, то х - точка минимума.
Если функция = во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, то график функции в этом интервале выпуклый верх; если , то график выпуклый вниз.
Если вторая производная при переходе через точку х , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х - точка перегиба.
Построение графика функции значительно облегчается, если известны его асимптоты.
Различают 2 вида асимптот:
а) Вертикальные, существующие в точках разрыва второго рода. Их уравнения имеют вид .
б) Наклонные: , где
, .
В частности, при наклонная асимптота становится горизонтальной и имеет уравнение .
При исследовании функции и построении ее графика полезно воспользоваться следующей схемой:
Найти область определения функции.
Найти точки пересечения графика с осями координат, если это возможно.
Найти асимптоты графика функции.
Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
На основании полученного исследования построить график.
Пример 7 Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение.
1. Область определения.
.
2. Асимптоты графика:
а) вертикальная
б) наклонная , где
.
3. Найдем производную функции.
; ; .
.
Определим знак производной в промежутках:
-
( )
-2
-2, 4
4
(4, 10)
10
(10, + )
+
0
-
не сущ.
0
+
max
min
4. Найдем вторую производную функции.
-
( )
4
(4, + )
-
не сущ.
+
Точек перегиба графика функции нет.
П о результатам исследования построим график функции.