- •Основные понятия теории вероятности
- •2. Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
- •3. Теория сложения вероятностей.
- •4. Условная вероятность.Св-ва.Т.Умножения.
- •6. Формула Байеса.
- •7. Повторные испытания.Схема Бернулли.
- •8. Повторные испытания. Схема Пуассона.
- •9. Случайные величины.Ряд распределения.
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •12. Моменты случайных величин.
- •Вычисление моментов
- •13. Равномерное распределение случайных величин. Плотность распределения.Вероятность попадания на интервал.
- •15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •14. Распределение Бернулли.
- •15. Распределения Пуассона.
- •16. Нормальное распределение.
- •17. Вероятность попадания случайной велечины на интервал.
- •19. Центральная предельная теорема
16. Нормальное распределение.
Случайная величина Х имеет нормальное распределение (или распределение по закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид: , где параметры а – любое действительное число и σ >0. График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормальная кривая (рис. 2.12) симметрична относительно прямой х =а, имеет максимальную ординату , а в точках х = а ± σ – перегиб. Рис. 2.12 Доказано, что параметр а является математическим ожиданием (также модой и медианой), а σ – средним квадратическим отклонением. Коэффициенты асимметрии и эксцесса для нормального распределения равны нулю: As = Ex = 0. Установим теперь, как влияет изменение параметров а и σ на вид нормальной кривой. При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо (рис. 2.13). При изменении параметра σ изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра σ кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением σ кривая стягивается к прямой х = а (рис. 2.14). Рис. 2.13 Рис. 2.14 Функция плотности нормального распределения φ(х) с параметрами а = 0, σ = 1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины, а ее график – стандартной кривой Гаусса. Ф ункция плотности нормальной стандартной величины определяется формулой , а ее график изображен на рис. 2.15. Из свойств математического ожидания и дисперсии следует, что для величины , D(U)=1, M(U) = 0. Поэтому стандартную нор мальную кривую можно рассматривать как кривую распределения случайной величины , где Х – случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а и σ. Нормальный закон распределения случайной величины в интегральной форме имеет вид (2.10) Полагая в интеграле (3.10) , получим , где . Первое слагаемое равно 1/2 (половине площади криволинейной трапеции, изображенной на рис. 3.15). Второе слагаемое (2.11) называется функцией Лапласа, а также интегралом вероятности. Поскольку интеграл в формуле (2.11) не выражается через элементарные функции, для удобства расчетов составлена для z ≥ 0 таблица функции Лапласа. Чтобы вычислить функцию Лапласа для отрицательных значений z, необходимо воспользоваться нечетностью функции Лапласа: Ф(–z) = – Ф(z). Окончательно получаем расчетную формулу
17. Вероятность попадания случайной велечины на интервал.
Вероятность того, что значение случайной величины Fx (x) попадает в интервал (a, b), равнаяP(a < x < b) = Fx (b) -Fx (a), вычисляется по формулам:
- для непрерывной случайной величины и
- для дискретной случайной величины.
Если a= - , то ,
если b= , то
18. Закон больших чисел - принцип, согласно которому количественные закономерности, присущие массовым общественным явлениям, наиболее явным образом проявляются при достаточно большом числе наблюдений. Единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных и несущественных факторов, чем их масса в целом. При большом числе наблюдений случайные отклонения погашаются.
Неравенство Чебышева.
Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное число , не больше дроби, числитель которой - дисперсия случайной величины, а знаменатель - квадрат
Доказательство. Поскольку случайная величина, которая не принимает отрицательных значений, то применим неравенство из леммы Чебышева для случайной величины при :
Далее:
что и требовалось доказать.
Теорема. (Закон больших чисел в форме Чебышева)
Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной константой С, а число их достаточно велико, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет по абсолютной величине данного положительного числа , каким бы малым оно ни было:
.
(Теорема Бернулли.)
Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от вероятности его появления:
Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.