8. Повторные испытания. Схема Пуассона.

 (теорема Пуассона⁽¹⁾). Пусть   и   так, что  . Тогда для любого   вероятность получить   успехов в   испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха   стремится к величине  :

Доказательство. Положим  . Тогда   и

(8)

В соотношении (8) мы воспользовались тем, что   и замечательным пределом  . Докажем последнее свойство:

QED

Определение 25. Набор чисел   называется распределением Пуассона с параметром  .

9. Случайные величины.Ряд распределения.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

 Пример. Подбрасывается монета n раз. Возможные результаты: герб выпал 0, 1, 2, …, n раз.      Различают дискретные и непрерывные случайные величины.      Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной (примеры 3.1, 3.3, 3.4).      Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной (пример 3.2). Заметим, что дискретные и непрерывные величины не исчерпывают все типы случайных величин.      Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.      Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности:     

Х	х1	х2	…	хn	…
Р	р1	р2	…	рn	…

     Такая таблица называется рядом распределения. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х₁, х₂, …, х_n. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = х_i (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, р₁  + р₂ + …  + р_n  = 1.

10.Ф-я распределения,плотности.

Если  - случайная величина, то функция называется функцией распределения случайной величины  . Здесь   - вероятность того, что случайная величина  принимает значения, не превосходящие числа  . Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:  определена на всей числовой прямой  ;  не убывает, т.е. если  , то  ; ,  , т.е.   и  ; непрерывна справа, т.е.  . Функция распределения содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения,которую часто называют просто распределением. Чаще используется термин распределение. Если функция распределения   непрерывна, то случайная величина   называетсянепрерывной случайной величиной. Если функция распределения   дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины  , которая связана с функцией распределения  формулами  и  . Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины  . Вероятность того, что значение случайной величины   попадает в интервал  вычисляется для непрерывной случайной величины по формулам:  или  .

     Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) 

где F(x) - интегральная функция.

     Свойства:

     1)  ;

     2)  ;

     3)  ;

     4)  .