- •Основные понятия теории вероятности
- •2. Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
- •3. Теория сложения вероятностей.
- •4. Условная вероятность.Св-ва.Т.Умножения.
- •6. Формула Байеса.
- •7. Повторные испытания.Схема Бернулли.
- •8. Повторные испытания. Схема Пуассона.
- •9. Случайные величины.Ряд распределения.
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •12. Моменты случайных величин.
- •Вычисление моментов
- •13. Равномерное распределение случайных величин. Плотность распределения.Вероятность попадания на интервал.
- •15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •14. Распределение Бернулли.
- •15. Распределения Пуассона.
- •16. Нормальное распределение.
- •17. Вероятность попадания случайной велечины на интервал.
- •19. Центральная предельная теорема
12. Моменты случайных величин.
Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:
-м начальным моментом случайной величины где называется величина
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;
-м центральным моментом случайной величины называется величина
-м факториальным моментом случайной величины называется величина
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Вычисление моментов
Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:
если
а для дискретного распределения с функцией вероятности
если
Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :
Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
13. Равномерное распределение случайных величин. Плотность распределения.Вероятность попадания на интервал.
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность имеет следующий вид: График плотности распределения показан на рис. 2.9. φ(х)
Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)
Плотность распределения случайной величины определяется по формуле . Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки: (площадь под кривой равна 1).
15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
Может быть вычислена двумя способами:
1) через функцию распределения
2) через плотность распределения
14. Распределение Бернулли.
случайная величина имеет распределение Бернулли с параметром , и пишут: , если принимает значения 1 и 0 с вероятностями и соответственно. Случайная величина с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха : ни одного успеха или один успех. Таблица распределения имеет вид:
|
0 |
1 |
|
|
|
Функция распределения случайной величины такова:
15. Распределения Пуассона.
Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и приp –> 0 (редкие события)).
Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:
где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения
Pm = Cnm · pm · (1 – p)n – m
может быть написан, если положить p = a/n, в виде
или
Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению сn. Произведение
весьма близко к единице. Это же относится к величине
Величина
очень близка к e–a. Отсюда получаем формулу:
|
Рис. 27.3. График распределения Пуассона при p = 0.05 и n = 10