- •Основные понятия теории вероятности
- •2. Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
- •3. Теория сложения вероятностей.
- •4. Условная вероятность.Св-ва.Т.Умножения.
- •6. Формула Байеса.
- •7. Повторные испытания.Схема Бернулли.
- •8. Повторные испытания. Схема Пуассона.
- •9. Случайные величины.Ряд распределения.
- •11. Числовые характеристики случайной величины
- •12. Моменты случайных величин.
- •Вычисление моментов
- •13. Равномерное распределение случайных величин. Плотность распределения.Вероятность попадания на интервал.
- •15. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •14. Распределение Бернулли.
- •15. Распределения Пуассона.
- •16. Нормальное распределение.
- •17. Вероятность попадания случайной велечины на интервал.
- •19. Центральная предельная теорема
3. Теория сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Доказательство:
Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:
4. Условная вероятность.Св-ва.Т.Умножения.
Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
.
В частности, отсюда получаем .
Для любых двух событий A и B справедливо: .
События A и B называются независимыми, если . Для любых двухнезависимых, событий A и B справедливо: .
Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).
Доказательство:
Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:
Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Доказательство:
Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Справедлива обратная теорема:
Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.
5.Формула полной вероятности.
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
6. Формула Байеса.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .
По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса
7. Повторные испытания.Схема Бернулли.
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).
Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой .
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли