Теореми Коші, Лагранжа про середне значення. Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати.

Теорема Коші про середне значення: нехай дві функції f(x) і g(x) визначенні на відрізку [a; b] і виконуються такі три умови:

1. f і g – неперервні на відрізку [a; b].

2. f(x) і g(x) мають похідні в інтервалі (a; b).

3. g(x)0 в інтервалі (a; b).

Тоді між точками a і b існує точка c така, що виконується рівність [f(b) – f(a)]/[g(b)-g(a)] = f(c)/g(c) точка c називається середнім значенням.

Доведення: (x) = f(x) – f(a) - ( g(x) – g(a) ), де (x) – допоміжна функція. Параметр  підберемо так, щоб виконувалися умови теореми Ролля.

(a) = 0  (b) = 0 = f(b) – f(a) - ( g(b) – g(a) ) 

 = [f(b) – f(a)]/[g(b) - g(a)] тепер застосуємо до функції теорему Ролля при вибраному . За теоремою Ролля c, (c) = 0, a < c < b.

(x) = f(x) -  ( g(x) – 0 ) = f(x) -g(x)  (c) = f(c) - g(c) = 0   = f(c)/g(c) = [f(b) – f(a)]/[g(b) – g(a)]. 

Теорема Лагранжапро середне значення: нехай функція f(x) визначенна і неперервна на відрізку [a; b] і диференційовна в інтервалі (a; b) тоді між точками a і d існує така точка c, що має місце рівність f(b) – f(a) = f(c) (b - a).

Доведення: по теоремі Коші візьмем g(x) = x, тоді похідна g(x)  1  [f(b) – f(a)]/(b – a) = f(c)/1 = f(c)  f(b) – f(a) = f(c) (b – a). 

Геометричний зміст:Дотична паралельна січній, що сполучає значення функції в точках а,в.(малюнок)

Перше правило Лопіталя: Нехай функції f(x) і g(x) мають похідні в околі точки (а) за вийнятком можливо самої точки (a); похідна g(x)<>0 при x<>a; limf(x)=limg(x) при xa; тоді якщо існує границя відношення похідних lim(f(x)/g(x)) при xa, то існує і границя відношення самих функцій lim(f(x)/g(x)) при xa і ці границі рівні lim(f(x)/g(x)) =lim(f(x)/g(x)) при xa.

Доведення: Довизначимо функції f(x) і g(x) в точці (а) нулями. f(a)=0, g(a)=0 тоді функції f(x) і g(x) стануть неперервними в точці (а). Застосуємо до пари функцій f(x) і g(x) теорему Коші на відрізку [x,a].

(f(x) - f(a)) / (g(x) - g(a)) = f(c) /g (c); f(a) = g(a) = 0 c є(a;x)

при xa звідки ca. Перейдемо до границі

lim(f(x)/g(x)) =lim(f(c) /g(c)) = lim(f (c) /g(c)) = lim(f(x)/g (x)) при xa, при ca

Правило Лопіталя справедливе для границь інших типів

xa + 0, xa – 0, x

Друге правило Лопіталя: нехай функції f(x) і g(x):

1. мають похідні в проколотому околі точки a

2. g(x)  0, при x  a

3. lim_xaf(x) = lim_xag(x) = 

Тоді якщо існує границя відношення похідних то існує границя відношення самих функцій і ці границі рівні між собою.

Білет 18.

Похідні вищих порядків.Формула Тейлора.

Нехай функція f(x) визначена в околі точки а, поліном P_n(x) - називається поліномом Тейлора для функції f(x) в околі точки а, якщо має місце рівність f(x) P_n(x) = 0(x-a)ⁿ тобто величина більшого порядку малості. P_n(x) = P_n( x , a )

Теорема: якщо функція f(x) визначена в околі n+1 похідну то має місце рівність

f(x) = f(a) + f(a)*(x-a)/1! + f(a)*(x-a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)*(x-a)ⁿ/n! + f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)*(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!,

де точка с деяка проміжна точка с (а, x). Перші n доданків - поліном Тейлора. Останній доданок r_n( x , a ) - залишок P_n( x , a ) в формі Лагранжа.

Доведення: ідея доведення полягає в тому, що ми введемо допоміжну функцію і застосуємо до неї теорему Ройля.

(t) = f(x) - P_n( x , t ) - (x-t)ⁿ⁺¹ * r_n( x , a )/(x-a)ⁿ⁺¹, де

P_n( x , a ) = f(a)+f(a)(x-a)/1! + f(a)(x-a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!

поліном Тейлора

r_n( x , a ) = f(x) - P_n( x , a )

Теорема буде доведена, якщо ми встановимо рівність

r_n( x , a ) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!

Перевіримо для функції (t) теорему Ройля на відрізку [a,x]

Розрахуємо (а) = f(x) - P_n( x , a ) - r_n( x , a ) = 0

(x) = f(x) - P_n( x , x ) - 0r_n( x , x ) = f(x) - P_n( x , x ) = f(x) - f(x) = 0

враховуючи r_n( x , a ) = f(x) - P_n( x , a ).

Знайдемо похідну від функції (t) по змінній t:

(t)= -P_n( x , t ) - (n+1)(x-t)ⁿ(-1)r_n( x , a )/(x-a)ⁿ⁺¹

Кінці відрізка зафіксуєм тому f(x) = 0

P_n( x , t ) = [f(t) + f(t)(x-t)/1! + f(t)(x-t)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(t)(x-t)ⁿ/n!] = f(t) + f(t)(x-t)/1! - f(t) + f(t)(x-t)²/2! – f(t)(x-t)/1! + ...

Залишається нескоротнім лише остання похідна n+1 порядку

... = f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x-t)ⁿ/n!

(t)= -P_n( x , t ) - (n+1)(x-t)ⁿ(-1)r_n( x , a )/(x-a)ⁿ⁺¹ =

=P_n( x , t ) - ( n+1)(x - n)ⁿ(-1)r_n( x , a )/(x-a)ⁿ⁺¹ =

= - f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x-t)ⁿ/n! + (n+1)(x-t)ⁿ(-1)r_n( x , a )/(x-a)ⁿ⁺¹

За теоремою Ройля існує така точка с між точками а і х в якій ця похідна дорінює 0.

0 = P(c) = - f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-a)ⁿ/n! + (n+1)(x-c)ⁿ(-1)r_n( x , a )/(x-a)ⁿ⁺¹ 

 f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-a)ⁿ⁺¹/[n!(n+1)] = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)! 

Наслідок: припустимо, що функція f(x) має в точці а, n+1 неперервну похідну, тоді залишок формули Тейлора є величина більш високого порядку малості ніж (x-a)ⁿ, тобто має місце формула

rⁿ( x , a ) = 0 (x-a)ⁿ

Формула Тейлора у формі Пеано: f(x) = f(a) + f(a)(x-a)/1! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)/n! + 0(x-a)ⁿ

Білет 19.