Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.

Припустимо, що кожному натуральному n поставлено в відповідність x_n  R тоді говорять, що задана числова послідовність (x_n)

Околом дійсного числа а називається довільний інтервал, що містить числа а, позначається О(а).

Нехай (x_n) числова послідовність , число а називається границею послідовності (x_n), якщо кожний окіл точки а містить всі члени послідовності починаючи з деякого номера. Позначається x_na ,(n)

 >0  N()  nN |x_n-a|<  x_n  O_(a)

Якщо lim(x_n)=a то кажуть, що послідовність зберігається до а.

Послідовність, що зберігається до 0 називається нескінченно малою.

lim(1/n)=0;

1. Єдиність границі: збіжна послідовність має лише одну границю. Припустимо, що послідовність x_n має дві різні границі a i b. Виберемо два -околи точок a i b які не мають спільних точок <(a-b)/2 тоді O_(a) O_(b) = 0 тоді за означенням границі починаючи з номера N₁, x_n належить околу точки а тому, що lim(x_n)=a , а також починаючи з деякого N₂, x_n  O_(b). Візімемо номер N Який дорівнює максимуму з N₁ та N₂, тоді для будь-якого nN x_n повинно належати O_(a) та O_(b),  x_n  O_(a)O_(b), а це неможливо.

2. Обмеженість границі. Послідовність (x_n) називається обмежена зверху, якщо x_nC, та обмеженою знизу якщо x_nC, та обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу. Збіжна послідовність є обмеженою.

Доведення: припустимо, що lim(x_n)<a

 >0  N()  nN |x_n-a|<, візьмемо =1 тоді маємо

 nN |x_n-a|<1  a-1<x_n<a+1. Це означає, що в окіл попали елементи обмежені зверху a+1 та знизу a-1. В окіл непопала скінченна кількість точок скінченна кількість точок теж обмежена.

Білет 3.

Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.

Припустимо, що кожному натуральному n поставлено в відповідність x_n  R тоді говорять, що задана числова послідовність (x_n)

Околом дійсного числа а називається довільний інтервал, що містить числа а, позначається О(а).

Нехай (x_n) числова послідовність , число а називається границею послідовності (x_n), якщо кожний окіл точки а містить всі члени послідовності починаючи з деякого номера. Позначається x_na ,(n)

 >0  N()  nN |x_n-a|<  x_n  O_(a)

Якщо lim(x_n)=a то кажуть, що послідовність зберігається до а.

Послідовність, що зберігається до 0 називається нескінченно малою.

Теорема про властивості нескінченно малих послідовностей. Сума, різниця та добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.

Доведення: нехай (_n) та (_n) – нескінченно малі послідовності, тоді

_n   >0  N₁(),  n N₁ _n </2

_n   >0  N₂(),  n N₂ _n </2

N= max ( N₁ , N₂ )  n  N  _n + _n   _n +_n  < /2+/2 = 

Це рівносильно тому, що сума прямує до 0.Для різниці аналогічно. Доведемо, що добуток нескінченно малої на обмежену є нескінченно мала.

_n  0, a_n C > 0

Якщо _n  0   >0  N() _n  <  / C  при n  N () _n a_n  = _n  a_n  < ( / C) C =  Оскільки (_n) – нескінченно мала і (_n) – нескінченно мала то з другої властивості добуток прямує до 0.

_n  0, _n  0,   _n  С. 

Теорема про арифметичні властивості границь. Якщо послідовність xn збігається до a, послідовність yn збігається до b, то сума збігається до a+b, різниця до a-b, добуток до ab, а частка при b0 до a/b.

Доведення:

x_n  a  x_n = a+_n (_n  0)

y_n  b  b_n = b+_n (_n  0)

x_ny_n = ab+(_n_n), так як _n_n  0  x_ny_n  ab

x_ny_n = (a+_n)(b+_n) = ab + _nb + _na + _n_n  x_ny_n = ab 

Білет 4.