- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Означення функції. Способи задання функції. Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці.
- •Перша та другі важливі границі.
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості.
- •Неперервність функції в точці. Теорема про композицію неперервних функцій. Односторонні границі. Теорема про зв'язок односторонньої границі із звичайною. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Означення оберненої функції та функції заданої параметрично. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.Геометричний зміст.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення. Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати.
- •Похідні вищих порядків.Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Означення локальних екстремумів. Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.Асимптоти.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
Означення: функція f(x) визначена в околі точки x0 називається дефиренційовною в точці x0, якщо її приріст в цій точці можна представити у вигляді f(x)-f(x0) = A(x-x0) + 0(x-x0), де A – константа, яка незалежить від x, а 0 - мала більшого порядку малості 0(x-x0) = (x)(x-x0).
Функція називається диференційованою, якщо в її прирісті можна виділити лінійну частину.
Теорема: для того щоб функція f(x) була деференційовною в точці x0, необхідно і достаньо щоб вона мала похідну в точці x0, при чому має місце рівність a=f(x).
Доведення:
Необхідність: припустимо що f(x) – диференційовна, тоді її приріст запишемо у вигляді f(x)-f(x0) = A(x-x0) + 0(x-x0)
Поділимо на x-x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) = A + (x) і спрямуємо x до x0
f(x0) = A + 0 A = f(x)
Достатність: припустимо, що f(x) має похідну, це означає, що існує lim ( [f(x)-f(x0)]/(x-x0) ) = f(x0) (f(x) – f(x0))/(x-x0) = f(x0) + (x) помножимо обидві частини на x-x0 f(x) – f(x0) = f(x0)(x-x0)+ +(x)(x-x0).
Означення: головна частина приросту диференційовної функції в точці x0 називається диференціалом цієї функції в точці x0 і позначається df(x0).
Властивості диференціалу:
1. dC = 0
2. d(f g) = df dg
3. d(Cf) = Cdf
4. d(fg) = dfg + fdg
5. d(f/g) = (dfg – fdg)/g2
Доведемо останне: d(f/g) = (f/g)dx = (fg-fg)dx/g2 = (fdxg- fgdx)/g2 = = (dfg – fdg)/g2.
Інваріантність першого диференціала: Розглянемо функцію f((t)) і обчислимо її диференціал. За означенням df((t)) = (f((t)))tdt = f((t)) (t)dt = f( (t) )d((t)) це показує, що перший деференціал зберігає свою форму незалежно від того, чи буде x незалежною змінною, чи функцією (t).
Білет 16.
Теореми Ферма та Ролля.Геометричний зміст.
Теорема Ферма: якщо функція f(x) визначена в (a; b) і в точці x0 має максимум або мінімум, тоді якщо в точці x0 функція f(x) має похідну, то ця похідна дорівнює 0.
Доведення: припустимо що x0 – точка максимума тоді f(x)f(x0)
x (a; b) розглянемо приріст і визначемо знак цього приросту.
f/xx0 = (f(x) – f(x0))/(x-x0)
Якщо x<x0 тоді x-x0<0, f(x)-f(x0)0
Тоді fxx00 при x<x0 lim ( (f(x)-f(x0))/(x-x0) ) = lim(f/x), при xx0-0 = f-(x0) 0
Якщо x>x0 тоді x-x0>0, f(x)-f(x0)0 lim ( (f(x)-f(x0))/(x-x0) ) , при xx0+0 = f+(x0) 0
За умовою теореми в точці x0 існує похідна тому ліва похідна повинна дорівнювати правій похідній і дорівнювати похідній в точці x0 f-(x0) = f+(x0) = f(x0) f(x0) = 0.
З теореми Ферма випливая, що дотична в точці екстремума горизонтальна.
Теорема Ролля:нехай функція f(x) визначенна і неперервна на відрізку [a; b], f(x) має похідну в інтервалі (a; b), в кінцях відрізка функція приймає рівні значення f(a) = f(b), тоді існує така точка c між точками a і b у якій похідна f(c) = 0.
Доведення: оскільки функція неперервна на відрізку [a; b] то за теоремою Вейерштрасса вона досягає своєї Верхньої і Нижньої грані. Це значить, що існує така точка x0, що f(x0) = Inf[a;b]f(x) = min[a;b]f(x) = m, існує така точка x1, що f(x1) = Sup[a;b]f(x) = max[a;b]f(x) = M. Розглянемо два випадки:
1. min = max m = M f(x) = Const f(x) = C = 0 і в якості точки C можна прийняти будь-яку точку інтервала.
2. m < M тоді точки x0 і x1 не можуть бути в кінцях відрізка одночасно, бо за умовою f(a) = f(b) M = m, що ми виключили, таким чином одна з точок лежить в середені відрізка, тоді за точку c візьмемо цю точку, тоді за теоремою Ферма f(c) = 0.
Білет 17.