- •Множини, способи їх задання. Дії над множинами.
- •Означення границі числової послідовності. Єдність границі, обмеженість збіжної послідовності.
- •Нескінченно малі послідовності. Властивості нескінченно малих послідовностей. Арифметичні властивості границі послідовності.
- •Монотонні послідовності. Теореми про монотонність границі, про три послідовності.
- •Теорема Вейерштрасса про існування границі монотонної послідовності. Критерій Коші. Число e.
- •Означення функції. Способи задання функції. Означення границі функції в точці по Гейне і по Коші. Означення границі функції на нескінченності. Властивості границі функції в точці.
- •Перша та другі важливі границі.
- •Нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих. Принцип заміни нескінченно малих. Порядок малості.
- •Неперервність функції в точці. Теорема про композицію неперервних функцій. Односторонні границі. Теорема про зв'язок односторонньої границі із звичайною. Точка розриву. Типи точок розриву.
- •Локальні властивості неперевних функцій.
- •1. Локальна обмеженість:
- •2. Стійкість знаку:
- •Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності.
- •Похідна функції в точці, права, ліва. Неперервність функції, що має похідну. Правило диференційовання.
- •Означення оберненої функції та функції заданої параметрично. Похідна оберненої функції, та функції заданої параметрично.
- •Диференційовність функції в точці. Зв’язок між диференційовностью та існуванням похідної. Диференціал функції. Властивості диференціала.
- •Теореми Ферма та Ролля.Геометричний зміст.
- •Теореми Коші, Лагранжа про середне значення. Перше правило Лопіталя. Друге – сформулювати.
- •Похідні вищих порядків.Формула Тейлора.
- •Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.
- •Означення локальних екстремумів. Перша та друга достатні умови локального екстремуму.
- •Опуклість функції вгору і вниз. Точка перегину. Достатня умова опуклості, необхідна та достатня умова точки перегину.Асимптоти.
- •Первісна функція та невизначений інтеграл. Теорема про загальний вигляд первісної функції. Елементарні властивості невизначеного інтеграла.
- •Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.
Білет 1.
Множини, способи їх задання. Дії над множинами.
Множина є первісним математичним поняттям, що не визначається через більш прості математичні поняття.
Підмножиною в математиці розуміють довільну сукупність ( набір ), що утворюють новий математичний об’єкт. Об’єкти, що утворюють множину називають елементами множини, бути елементами (множини) первісне математичне поняття. Множина, що не має жодного елементу називається пустою або порожньою множиною.
Способи задання множин:
1. перелік елементів множин A={a1, a2, ... , an}
2. характеристичною властивістю множини A={x|P(x)} P(x) - властивість.
Множини вважаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих же елементів.
Включення множин: множина А включається в множину В, або елементом множини В, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В. x A x B A B
Об’єднання множин:об’єднанням множин А і В називається множина С, що складається з елементів, що належать принаймині одній з множин А і В. AB = С = {x| x A x B}
Перетин множин: перетином множин А і В незивається множина С, що складається із спільних елементів множин А і В.
A B = C = {x| x A x B}
Різниця множин: різницею множин А і В називається множина С, що складається з тих елементів множини А, які не входять в множину В.
A\B = C = {x| x A x B}
Універсальна множина: універсальною множиною називають множину всіх елементів, що розглядаються в данній задачі.
Доповненням до множини А називають всі елементи множини універсальноі множини, що невходять в множину А. A =A = U\A
Нескінченний десятковий дріб називається регулярним, якщо він немає в періоді 9. Прийнято розглядати регулярні десяткові дроби, не регулярні замінюють відповідними регулярними. Дійсним числом називається нескінченний регулярний десятковий дріб.
Теорема: не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2.
Доведення: припустимо, що таке число існує (m/n)2 = 2, нехай r=m/n m,n N - нескоротний дріб. Якщо це число можна вважати нескоротнім, то НСД(m,n) = 1 (m/n)2 = 2 => m2/n2 = 2 m2 = 2n2 оскільки права частина ділиться на 2 ліва теж ділиться на 2, це означає що m - парне m=2m1, де m1 N тоді (2m1)2 = 2n2 => 4m12 = 2n2 2m12 = n2 Оскільки ліва частина ділиться на 2, тоді n-парне n=2n1 m/n = 2m1/2n1 таким чином коли дріб скорочується на 2 отже припущення невірне і такого числа не існує.
Числовими множинами називаються підмножини множини дійсних чисел.
Числова множина А називається обмеженою зверху якщо існує таке число С, що для будь-яких x Є A, x=<C число С називають ВГ множини А. Мінімальна із усіх верхніх граней називається ТВГ і позначається Sup(A)=S
Множина А називається обмеженою знизу, якщо існує таке число d, що для будь-яких x Є A, x>=d, число d називають ТН. Максимальне із всіх нижніх граней називається ТНГ і позначається Inf(A)=t.
Теорема: Кожна не порожня обмежена зверху множина дійсних чисел має точну верхню грань. Кожна не порожня обмеженя знизу множина дійсних чисел має точну нижню грань.
Доведення: нехай M – не порожня обмежена зверху множина дійсних чисел. Побудуємо спеціальний переріз множини R. В множину B віднесемо всі числа, що обмежують M зверху B={ bR | b x, xM } Оскільки M обмежена зверху, то B. Тоді A=R\B ={ a R | x M, a < x }. Таким чином в A попали числа, які не попали в B.
За побудовою: A,B та R=AB.
b x x b, a < x a < b таким чином пара множин утворює переріз. За аксіомою неперервності можливі два випадки:
1. A має найбільший елемент.
2. B має найменший елемент.
Доведемо, що A не може мати найбільшого елемента a A, a < x, xM, Візьмем a1 таке щоб a < a1 < x це можливо бо a1=( a + x ) / 2.
a1 A, a1 > a, a1 < x тому разом з кожним елементом a входить і більший a1, отже множина A немає найбільшого елемента, отже перший випадок неможливий, а тоді множина B має найменший елемент і цей мінімальний елемент і буде ТВГ.
Білет 2.