Локальні властивості неперевних функцій.

Означення: функція f(x) називається неперервною в точці а , якщо f(x) визначена в околі точки а, і границя функції f(x) , коли x=>a дорівнює значенню в точці а.

Властивості:

1. Локальна обмеженість:

Теорема: якщо функція f(x) неперервна в точці а то вона обмежена в деякому околі точки а.

Доведення: візьмемо =1

 >0 () |x-a|<  |f(x)-f(a)|<   |x-a|<  |f(x)-f(a)|<1  f(a)-1 < f(x) < f(a)+1

2. Стійкість знаку:

Теорема: якщо функція f(x) неперервна в точці x=a і значення функції f(a)0 то існує -окіл точки а, в якому функція f(x) має той самий знак , що й f(a)

Доведення: застосуємо означення Коші для неперервної функції для >0 () |x-a| <   |f(x)-f(a)|<, =1/2|f(a)| > 0.

Підставимо в означення і розкриємо модулі:

|x-a|<  |f(x)-f(a)| < 1/2|f(a)|  -1/2|f(a)|<f(x)-f(a)<1/2|f(a)|  f(a)-1/2f(a)<f(x)<f(a)+1/2|f(a)| Розглянемо два випадки:

1. f(a)>0 берем ліву нерівність

 x O_(a)  f(x)>f(a)-1/2|f(a)| = f(a)-1/2f(a)=1/2f(a)>0

2. f(a)<0 берем праву нерівність

f(x)<f(a)+1/2|f(a)|=f(a)-1/2f(a)=1/2f(a)<0

Наслідок: якщо функція f(x) неперервна в точці a і має місце нерівність f(a) < C, або f(a) > C то існує окіл a, що ця нерівність виконується в околі a.

Для доведення розглянемо функцію g(x) = f(x) –C і застосуємо теорему про стійкість знаку.

Білет 11.

Принцип вкладених відрізків. Означення підпослідовності.

[a₁,b₁][a₂,b₂]…  [a_n,b_n] [a_n+1,b_n+1]

Послідовність відрізків називається системою вкладених відрізків, якщо кожний наступний включається в попередній.

Теорема: Кожна система вкладених відрізків має спільну точку, якщо послідовність довжин відрізків прямує до нуля , то ця спільна точка єдина.

Доведення: розглянемо послідовність лівих кінців відрізку, вона монотоннозростає і обмеженна зверху b, тму за теоремою Вейерштрасса вона має границю і ця границя дорівнює Sup a_n = a.

a₁a₂…a_na_n+1… a_n a_nb_n   lim_na_n = Sup a_n = a

Розглянемо послідовність правих кінців. Ця послідовність монотонноспадає і обмежена a, тому існує границя правих кінців.

b₁b₂…b_nb_n+1… b_n b_na_n   lim_n®b_n= Inf b_n= b

a_nb_n  lim_n a_n  lim_n® b_n  a £b 

a_na, a_na a_na n   a_nabb_n n

b_nb, b_nb b_nb n 

[a₁,b₁] [a_n,b_n]  [a,b]  [a_n,b_n] n при n1

Припустимо, що довжина відрізків прямує до 0, коли n 

lim_n a_n = lim_n®b_n = a  a=b, [a,b]={a} .

Нехай задано послідовність x_n, розглянемо послідовність номерів n, що строгозростає і утворимо нову послідовність n₁<n₂<…<n_k<… Утворена послідовність n_k є підпослідовністю x_n.

Перша теорема Вейерштрасса: кожна функція неперервна на відрізку є обмеженою на цьому відрізку. M>0 |f(x)|M x  [a,b]

Доведення: припустимо, що f(x) - необмежена на відрізку [a,b]. Це означає що для будь-якого n  N існує x_n  [a,b] таке, що |f(x_n)|>n. За теоремою Больцана-Вейерштрасса з послідовності x_n можна виділити збіжну підпослідовність  x_nkx₀ при k

a  x_n  b  a  x₀  b функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] значить вона неперервна в точці x₀, x_nkx₀  f(x_nk)f(x₀)  R при k

|f(x_nk)|>n_k тоді f(x_nk)f(x₀), при n_k+ ,а це абсурд, отже припущення невірне.

Білет 12.

Друга теорема Вейерштрасса: кожна неперервна функція на відрізку [a,b] , досягає ТВГ і ТНГ.

Існує   [a,b] Sup f(x) = f() при x  [a,b]

Існує   [a,b] Inf f(x) = f() при x  [a,b]

Доведення: нехай Sup f(x) = M, при x  [a,b]. Припустимо, що Sup не досягається , це означає , що f(x)<M, для будь-якого x  [a,b]

Розглянемо допоміжну функцію (x)=1/(M-f(x)) тоді знаменник цієї функції не дорівнює 0 тому данна функція неперервна, а раз вона неперервна, то за першою теоремою Веєрштрассе вона обмежена.

(x) =1/(M-f(x)) C, C>0  M-f(x)  1/C  f(x)M -1/C, x [a,b]

Тому наше припущення невірне. Аналогічно доводиться для Inf:

Inf f(x)=m f(x)>m тоді (x)=1/(f(x)-m)C, f(x)-m1/C  f(x)m+1/C>m, для будь-якого x  [a,b], а це неможливо, бо Inf найбільше з усіх НГ. 

Теорема Больцано: якщо функція f(x) - неперервна на відрізку [a,b] і на кінцях відрізка приймає значення протилежних знаків, то на інтервалі є точка x₀ в якій данна функція дорівнює 0.

Доведення: позначимо через ₀ відрізок [a,b] поділимо його навпіл. Можливі такі випадки:

1. f((a+b)/2) =0  x₀ = (a+b)/2

2. f((a+b)/2) 0  f((a+b)/2) > 0, або f((a+b)/2) < 0

виберемо серед двох відрізків поділу той, на кінцях якого функція приймає різні знаки , позначимо його [a1,b1]; ₀=[a,b][a₁,b₁]

b₁-a₁=1/2(b-a). Для відрізку [a₁,b₁] застосуємо ті самі дії. Наступний відрізок назвемо [a_n,b_n]; ₀= [a,b][a₁,b₁][a₂,b₂] ... [a_n,b_n] Отримаємо послідовність вкладених відрізків

b_n-a_n=1/2ⁿ(b-a)  0, f(a_n)f(b_n)<0

За принципом вкладених відрізків данна система має одну спільну точку x₀=^_n=0[a_n,b_n]. Доведемо , що в цій точціфункція дорівнює нулю. Припустимо, що це не так. Нехай f(x₀)>0 . За теоремою про стійкість знаку існує -окіл точки x₀ в якому функція f(x) зберігає знак. f(x)>0  x (x₀-б;x₀+б). Але при достатньо великому n відрізок [a_n,b_n] входить у даний окіл Г₀ b_n-a_n  0, функція змінює знак , а цього бути немає. Аналогічно розглядається випадок коли f(x₀)<0. Тоді випадки f(x₀)>0; f(x₀)<0 неможливі. 

Наслідок: теорема Коші : якщо f(x) - неперервна на відрізку [a,b] і в кінцях відрізку приймає значення A, B то для будь-якого числа С між числами А і В існує така точка x₀ що f(x₀)=C.

Доведення: розглянемо допоміжну функцію g(x)=f(x)-C

Тоді (A<C<B) g(a)=f(a)-C=A-C<0, g(b)=B-C>0 то за попередньою теоремою g(x₀)=0  f(x₀)=C

Білет 13.