Критерій монотонності функції. Означення локальних екстремумів. Необхідна умова локального екстремуму.

Означення: нехай f(x) визначена на множині M. Функція f(x) називається монотонно зростаючою на множині M, якщо x, y  M x<y  f(x)f(y), якщо x<y  f(x)<f(y) – строгозрстаюча. Монотонно спадна функція, якщо x, y  M x<y  f(x) f(y), якщо x<y  f(x)>f(y) – строгоспадна.

Монотонно зростаючі та спадні називаються монотонними, а строго зростаючі та спадні – строго монотонними.

Теорема: критерій зростання функції: якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a; b] і має похідну в інтервалі (a; b) то для того, щоб f(x) - була монотонно зростаючою необхідно і достатньо щоб її похідна була не від’ємною f(x)  0. Якщо f(x)>0, х  (а,b)  f(x) - строгозростаюча.

Доведення: Необхідність: нехай f(x) зростаюча на відрізку [a,b], x₁<x₂  f(x₁)  f(x₂) х₁,x₂  [а; b]. Розглянемо довільну точку х і розглянемо приріст f(x+h) - f(x) при h>0 та h<0

  0, при h>0

f(x+h) - f(x)   [f(x+h)-f(x)]/h  0 h  0

  0, при h<0

Перейдемо до границі при h0  lim_h0[f(x+h) - f(x)]/h 0

Так як lim_h0[f(x+h) - f(x)]/h = f(x)  0.

Достатність: припустимо, що f(x)>=0, х  [а; b]

Нехай x₁ < x₂ довільні точки з відрізка [a; b] Розглянемо різницю f(x₂) – f(x₁) і застосуємо до цієї різниці теорему Лагранжа (f(b)-f(a) = f(c)(b-a))

f(x₂)-f(x₁) = f(c)(x₂-x₁) так як f(c)  0 то (x₂-x₁) > 0  f(x₂) - f(x₁)  0  f(x₂)  f(x₁)

Якщо f(c) > 0 то f(x₂) - f(x₁)>0  f(x₂) > f(x₁) – сторого зростаюча.

Теорема: якщо функція f(x) - неперервна на відрізку [a; b] і має похідну в інтервалі (a; b) то для того, щоб функція f(x) монотонно спадала на відрізку [a; b]. Необхідно і достатньо щоб її похідна f(x)0 в інтервалі (a; b). Якщо похідна f(x) < 0 то функція строго спадає на відрізку [a; b]

Доведення: Аналогічно

!!!Умова строгомонотонності тільки достатня!!!

Означення: точка a називається точкою локального максимуму функції f(x), якщо функція f(x) визначена в околі точки a і для

x O(a), x  a f(x)<f(a). Точка a називається точкою локального мінімуму для функції f(x), якщо вона визначена в околі точки a, і для

x O(a), x  a f(x)>f(a).

Локальні максимум і мінімум називаються локальними екстремумами.

Теорема. Необхідна умова локального екстремума: якщо функція f(x) має в точці a локальний екстремум то похідна в цій точці f(a)=0, або не існує. (Теорема Ферма).

Доведення: припустимо що a – точка максимума тоді f(x)f(a)

розглянемо приріст і визначемо знак цього приросту.

f/x_a = (f(x) – f(a))/(x-a)

Якщо x<a тоді x-a<0, f(x)-f(a)0

Тоді fx_a0 при x<a  lim ( (f(x)-f(a))/(x-a) ) = lim(f/x), при xa-0 = f_-(a)  0

Якщо x>a тоді x-a>0, f(x)-f(a)0  lim ( (f(x)-f(a))/(x-a) ) , при xa+0 = f₊(a)  0

За умовою теореми в точці a існує похідна тому ліва похідна повинна дорівнювати правій похідній і дорівнювати похідній в точці a  f_-(a) = f₊(a) = f(a)  f(a) = 0. 

Білет 20.

Означення локальних екстремумів. Перша та друга достатні умови локального екстремуму.

Означення: точка a називається точкою локального максимуму функції f(x), якщо функція f(x) визначена в околі точки a і для

x O(a), x  a f(x)<f(a). Точка a називається точкою локального мінімуму для функції f(x), якщо вона визначена в околі точки a, і для

x O(a), x  a f(x)>f(a).

Локальні максимум і мінімум називаються локальними екстремумами.

Теорема: Якщо функція f(x) неперервна в околі точки а і має похідну в усіх точках околу за вийнятком можливо самої точки а. І з кожного боку відточки а похідна зберігає знак, тоді якщо f(x)>0 при x<a і f(x)<0 при x>a тоді а - локальний максимум. Якщо f(x)<0 при x<a і f(x)>0 при x>a тоді а - локальний мінімум.

Доведення: розглянемо різницю f(x) - f(a) і застосуємо теорему Лагранжа f(x) - f(a) = f(c)(x-a), де c (x,a). Розглянемо перший випадок, припустимо, що x<a тоді:

(x-a)<a, f(c)>0  f(x) - f(a) = f(c)(x-a) <0  f(x)<f(a)

Припустимо, що x>a тоді (x-a)>0, f(c)<0  f(x) - f(a) = f(c)(x-a)<0  f(x)<f(a) х  а f(x)<f(a)  a - точка локального максимуму. Другий випадок - аналогічно.

1. x<a, (x-a)<0, f (c)<0  f(x) - f(a) = f(c)(x-a)>0  f(x)>f(a)

2. x>a, (x-a)>0, f (c)>0  f(x) - f(a) = f(c)(x-a)>0  f(x)>f(a)

х  а f(x)>f(a)  а - точка локального мінімуму.

Приклад:

f(x) = x³ - 12x + 1

f(x) = 3x² - 12 = 0  x₁=2, x₂=-2

Y`    . х = -2 - локальний максимум

+ (-2) - (2) + X х = 2 - локальний мінімум

Теорема: нехай функція f(x) - визначена в околі і має другу похідну в самій точці а, при чому перша похідна в точці а дорівнює 0, а друга похідна відмінна від 0, тоді, якщо друга похідна в точці а більше 0 то а - локальний мінімум, якщо f(a)<0, то а – точка локального максимуму.

Доведення: Оскільки функція має дві похідні в точці а, то до функції можна застосувати формулу Тейлора другого порядку:

f(x)=f(a) + f(a)(x-a)/1! + f(a)(x-a)²/2! + 0(x-a)²

0(x-a)² =(x)(x-a)², (x)0, (xa)

f(x) = f(a) + f(a)(x-a)²/2! + (x)(x-a)² (f(a) = 0)

f(x) - f(a) = (f(a)/2!+(x))(x-a)² = (f(a) + 2(x))(x-a)²/2

Оскільки (x)0 звідки 2(x)0 і у малому околі точки а доданок 2(x) на знак не впливає.

Отже знак f(a)>0 і f(a) + 2(x) - співпадає.

Нахай f(a) > 0, (x - a)²/2 > 0, f(a) + 2(x)>0  f(x) – f(a) > 0 х а  f(x)>f(a) , точка а - локальний мінімум.

Якщо f(a)<0  f(x) - f(a) < 0, х  а  f(x)<f(a) 

a - точка локального максимуму.

Приклад:

f(x) = x³ - 12x + 1

f(x) = 3x² -12

f(x) = 6x f(-2) = -12 <0  x= -2 loc max

f (2) = 12 >0  x= 2 loc min

Білет 21.