Заміна зміної та інтегрування частинами в невизначеному інтегралі. Інваріантність формул інтегрування.

Метод заміни змінної.

Теорема: Якщо функція f(x) - неперервна в інтервалі (a,b) , а функція x=(t) має неперервну похідну , то має місце формула

f(x)dx|_x=(t) =f((t))(t)dt

Доведення: позначимо F(x) первісну функцію для функції f(x).

Тоді розглянемо складну функцію F((t)). Її похідна

(F((t))) = F((t))(t) = f((t))(t) 

f((t))(t)dt = F((t)) + C 

  F((t))+C=F(x)dx|_x=(t)

f(x)dx = F(x)+C 

{Наслідок: з теореми про заміну змінної випливає властивість інваріантності формули інтегрування.

f(x)dx|_x=(t) =f((t))(t)dt = f((t))d(x)

Означення: перехід від виразу (t)dt  d((t)) називається перенесенням функції під знак дифференціалу.}

Метод інтегрування частинами.

Теорема: якщо дві функції U(x) i V(x) мають неперервні похідні в інтервалі (a,b) то виконується формула:

U(x)V(x)dx=U(x)V(x)-V(x)U(x)dx; UdV=UV-VdU - формула інтегрування частинами.

Доведення:

(U(x)V(x)) =U(x)V(x)+U(x)V(x)

(U(x)V(x)+U(x)V(x))dx = U(x)V(x)+C; U(x)V(x)dx+U(x)V(x)dx = U(x)V(x)+C; U(x)V(x)dx = U(x)V(x)-U(x)V(x)dx+C = U(x)V(x)-U(x)V(x)dx 