26,27.Окружность

Это частный случай эллипса. Формула: (х-х₀)²+(у-у₀)²=R², где (х₀;у₀)- координаты центра окружности.

Эллипс, его характеристики, геометрические свойства.

Э.—это геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная (и равна 2а).

. … b²=а²-с²

--каноническое уравнение, где a-большая полуось, b-меньшая полуось.

--- эксцентриситет эллипса. с²=а²-b². .

Прямые называются директрисами Э., параллельны Оу, лежат вне Э.

F₁(-c;0), F₂(c;0) координаты фокусов Э. =1 также каноническое уравнение Э. с центром в т.( х₀;у₀).

28.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства

Г.—это геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная ( и равна 2а).

Пусть М(х;у) произвольная точка гиперболы, тогда согласно определнию:

= 2а ... с²-а²=в²

--- каноническое уравнение Г.

а—действительная полуось, 2а—ось; в—мнимая полуось, 2в—ось.

F₁(-c;0), F₂(c;0) -- фокусы Г. -- эксцентриситет Г. .

--директрисы Г. --асимптоты Г. с²=а²+в²

--Г. ориентированная по оси Оу. х²-у²=а² –уравнение равносторонней Г.

29.Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения

Парабола и ее геометрические свойства

Параболой наз.геометрическое место точек плоскости,для к-х расстояние от заданной точки (F) до заданной прямой директрисы есть величина постоянная.

Исходя из определения расстояние от точки M до директрисы MK=MF,где MF=(x-p/2)²+y²=MK=x+p/2

x²-px+p²/4+y²-x²-px-p²/4=0

y²=2px -Каноническое уравнение параболы,ориентированной вдоль Оx,где p>0

аналагично получено x²=2py вдоль Оy

F (p/2;0)-в первом случае x=-p/2;

F(0;p/2)-во 2-ом случае y=-p/2;

Для эллипса эксцентриситет 0<E<1;

Для гиперболы E>1

Для параболы E=1;

30.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти

Уравнение плоскости проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.

1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)

Теперь получим уравнение плоскости:

Выберем произв точку M(x,y,z) и рассм-м в-р M0M.

Пусть N –нормал.вектор,тогда вектор N –ортогонален M0M

Условие ортогональности векторов:

(N;M0M)=0-векторное уравнение плоскости

Перейдем к скалярной форме

M0M=(x-x0;y-y0;z-z0)

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0; (2)

Получим Ax+By+Cz+D=0 (3)-общее Ур-е плоскости

D=-(Ax0+By0+Cz0)

A,B,C,D неравно 0

Ax+By+Cz=-D делим на –D

x/(-D/A)+y/(-D/B)+z/(-D/C)=1

x/a+y/b+z/c=1 (4) – Ур-е пл-ти где a,b,c-отрезки отсек плоскостью на осях Oy,Ox соответственно.

Плоскость-это множество точек пространства декартовые прям.координаты к-х удовлетворяют одному из уравнений(1-5)

Если нормальные векторы коллениарны,то плоскости параллельны: A1/A2=B1/B2=C1/C2

Скалярное произведение нормальных векторов=0, то перпенд-ны A1*A2+B1*B2+C1*C2=0

31.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями

Угол γ между плоскостями A1x+B1y+C1Z+D1=0 и A2x+B2y+C2Z+D2=0 определяется по формуле

Cosγ=(A1*A2+B1*B2+C1*C2)/√A1²+B1²+C1²*√A2²+B2²+C2² (эти суммы под корнем)

Расстояние от точки М0(x0,y0,z0) до плоскости Ax+By+Cz=D

d= |Ax0+By0+Cz0+D|/√A²+B²+C²