21.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.

Векторное уравнение прямой: пусть на прямой задана точка М_о(х_о;у_о) и задан нормальный вектор n=(А;В)

На данной прямой выбрать произвольную точку М(х;у) и рассмотреть вектор М_оМ=r. Вектор n перпендикулярен вектору r, следовательно n*r_о =0 (1) – векторное уравнение прямой.

В уравнении (1) вектор n=(А;В), а вектор r_о =(х-х_о;у-у_о), подставим и получим

А(х-х_о)+В(у-у_о)=0 - уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору. Раскроем скобки, получим Ах-Ах_о+Ву-Ву_о=0;

Ах +Ву+(-Ву_о-Ах_о) =0. Обозначим -Ву_о-Ах_о =С.

22.Из общего уравнения прямой на плоскости Ах+Ву+С=0:

Ву=-Ах-С (А,В,С не равно 0)

У=(-А/В)*х-С/В

k= -А/В=tgα

у=kх+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Точка М_о(х_о;у_о) принадлежит данной прямой. Тогда у=kх+b минус у_о=kх_о+b получаем:

у-у_о=k(х-х_о) – кравнение прямой проходящейчерез данную точку в заданном направлении.

Пусть заданно уравнение прямой у=kх+b и М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂), то у₁=kх₁+b, у₂=kх₂+b

Отнимем от второго уравнения первое, получим

у₂-у₁=k(x₂-x₁)

k= (у₂-у₁)/ (x₂-x₁) – угловой коэффициент прямой.

Пусть заданны М₁ и М₂, принадлежащие некоторой прямой, тогда

(у-у₁)/ (у₂-у₁)= (x-x₁)/(x₂-x₁) – уровнение прямой проходящей через две точки

23.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.

θ=α₂- α₁

tgθ=tg(α₂-α₁)= (tgα₂ – tgα₁)/(1+ tgα₂*tgα₁)= (k₂-k₁)/(1+k₂*k₁)

tgθ=(k₂-k₁)/(1+k₂*k₁) – формула для вычисления угла между двумя пересекающимися прямыми

1. пусть θ=0, тогда прямые параллельны, tgθ=0 след-но k₁=k₂ – условие параллельности прямых

2. θ=90^о, то tg θ= ∞ или не существует

1+k₁* k₂=0

k₁* k₂= -1 – условие перпендикулярности прямых

24.Пусть задано ур-е пр Ах+Ву+С=0, А,В,С не равно 0

Ах+Ву=-С, (А/-С)х+(В/-С)у=1, х/(-С/А)+у/(-С/В)=1,

-С/А=a ,-С/В=b

х/a+у/b=1 – ур-е пр в отрезках, где a,b – отрезкики, отсек прямой на осях ОУ и ОХ.

Пусть на пр, не проход через нач корд-т, опущен перп-р ОР, длина кот = р, а угол, составл им с осью ОХ, равен α.М(х;у) – произвольная точка на прямой.

х=р*cos α,у=р*sin α

ОР перпендикулярно РМ, то k_ОР*k_РМ= -1

k_ОР=tg α=sin α/cos α

k_ОМ=(у_М-у_Р)/(х_М-х_Р)=(у-р*sin α)/(x-р*cos α)

Подставим k_ОМ и k_ОР в равенство k_ОР*k_РМ= -1

(sin α/cos α)* (у-р*sin α)/(x-р*cos α)= -1

у*sin α-р* sin² α= -х*cos α+р* cos² α

у*sin α+ х*cos α-р=0 – нормальное уравнение прямой

Пусть Ах+Ву+С=0 – общее уравнение прямой, а у*sin α+ х*cos α-р=0 – её нормальное уравнение, т.к. оба уравнения определяют одну и ту же прямую, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны:

μА= cos α μВ= sin α μС=-р

Первые два равенства возведём в квадрат и сложим:

μ²(А²+В²)= cos²α+sin² α =1 .След-но:

Число μ, после умножения на которое уравнение прямой преобретает нормальный вид, называется нормирующим множителям

25.Расстояние от точки до прямой

П усть задана прямая Ах+Ву+С=0 и точка М₀(х₀;у₀), не лежащая на прямой. Нужно найти расстояние от точки М₀ до прямой. коллинеарна . ( ; )=А(х₁ – х₀)+В(у₁-у₀). ( ; )= cos = . А(х₁ – х₀)+В(у₁-у₀)= .

d= = ------- формула для вычисления расстояния от точки до прямой, С=Ах₁ +Ву₁.

ИЛИ Не из конспекта: d= .