- •1.Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины(или n столбцов одинаковой длины).
- •2.Умножение матрицы на число
- •3.Умножение матриц
- •2 Матр а и в соглас-е, если число строк матр а равно числу столбцов матр в, и наоборот.
- •9. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.
- •10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.
- •Перестановка уравнений системы.
- •По исх сист записываем расшир матр системы.
- •Amn ≠ 0 – система имеет единственное решение
- •11. Системы линейных однородных уравнений.
- •13.Вектор на плоскости и в простр-ве. Лин опер-и над в-ми, их св-ва. Базис на пл-ти и в простр-ве. Ортонормированный базис.
- •21.Уравнение прямой-уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой и только этой прямой.
- •23.Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов, образованных прямыми при их пересечении.
- •25.Расстояние от точки до прямой
- •26,27.Окружность
- •28.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства
- •29.Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения
- •30.Плоскость.Условие параллел-ти и перпендик-ти
- •1 Из спос-в зад-я пл-ти через зад точку m0(x0,y0,z0) с заданным нормальным вектором n(a;b;c)
- •31.Расстояние от точки до плоскости.Угол между плоскостями
- •32.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр
- •36.Предел числовой последовательности (чп).
- •X1, x2,…xn,…-числ послед.(1), xn-общ член чп.
- •37.Понятие ф-и. Сп-бы задания ф-й, оп-ции над ними. Обр ф-ия. Элемент ф-ии, их классификация.
- •39.Осн теоремы о пределах. Замечат пределы.
- •40.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- •1)Первая теорема Вейерштрасса
- •2) Вторая теорема Вейерштрасса
- •3) Теорема Больцано-Коши о промежут.Значении
- •43.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.
- •45.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:
- •47.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
- •55.Понятие функции многих переменных
- •56.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
- •57.Частные производные первого и второго порядка
- •58.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •1) Выбор точки ; 2) устан-ть вид вычисл-мой ф-и
- •2) , Экстр-ма в т. Нет
- •3) , Треб-ся доп исслед-е
- •62.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •1 Из алгоритмов реш-я этой задачи сводится к след
- •II этап
- •64,65.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.
- •67.Интегрир-е путем замены переменной(подстановкой)
- •72.Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •73.Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •74.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •2)Определение средних значений
- •Издержек производства
- •2)И. На конечном промежутке
- •82.Дифференциальное уравнение(ду)
- •83.Ду 1го порядка
- •2)Имеет частную произв-ю по y для любой точки
- •92,93Лин неоднор ду 2-го порядка с пост коэфф-ми.
- •94.Числовой ряд и его сходимость.
- •2.Сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Гармонический ряд (док-во его расходимости).
- •96.Свойства сходящихся рядов
- •97.Достат признаки сх-ти ряда с положит членами.
- •98. Признаки сравнения рядов
- •101.Теорема Абеля.
- •103.Свойства степенных рядов .
- •2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.
- •3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.
- •104.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •105.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •106.Применение рядов в приближенных вычислениях. Оценка точности вычислений
- •99. Знакочеред ряды. Достат усл-е сх-ти (теорема Лейбница). Абсол и условная сходимость.
- •Определение опред. Интеграла
83.Ду 1го порядка
Имеют вид: y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2)
1) y’=f(x) dy/dx=f(x)
dy=f(x)dx dy=f(x)dx y=f(x)dx
2) y’=f(y) dy/dx=f(y)
3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными f(x)dx=f(y)dy
4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)
ДУ с разделяющимися переменными
Ур-е вида (4) реш по схеме:
d(y)/d(x)=f(x)gy
d(y)/g(x)=f(x)d(x)
M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)
5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка (ф-ция вида f(αx,αy)=αkg(x,y) наз однор ф-ция k-того порядка,αЄR)
реш с помощью подстановки
z=y/x y=zx y’=z’xx+z
z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x
6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by
Теорема (Коши-Пикара). Пусть задано дифференциальное уравнение вида y’=f(х,у), где f(x,y) — функция, заданная в области D, и в D заданы начальные условия M0 (x0,y0)ЄD. В силу открытости области D можно указать числа а и b (а>0;-b>0) и для них замкнутую область : |х - x0|≤ а, |у- у0|≤b, такую, что D. Пусть в области ф-я z=f(x,y):
1)непрерывна, а значит, и ограничена, т.е. |f-(x, y)|≤H;
2)Имеет частную произв-ю по y для любой точки
М(х, у) и эта частная производная также ограничена в . Тогда сущ решение задачи Коши для начал условий М0(х0, у0): y=(x), y0 = (x0), это решение единств, причем функция у=(х), оставаясь решением уравнения y(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1)) , задана, по крайней мере, на отрезке |х-x0|≤h, где h=min(а, b/Н) и |(x)-y0|≤b.
Доказательство этой теоремы не приводим.
Замечание. Поскольку реш-е у = (х) задано для |х - х0| ≤h, т.е. –h+x0≤x≤h+x0, то если взять произвольную точку х1 такую, что -h+x0<x1< h+x0, и вычислить y1 = (x1), начальным условиям M1(x1,y1) будет соответствовать то же решение у = (х); измениться в этом случае может лишь h в неравенстве |х — х1|≤ h.
Общее решение. Пусть в DR2 задано дифференциальное уравнение y’=f(х,у) и в любом D выполняются условия теоремы Коши — Пикара. Тогда однопараметрическое семейство функций
у = (х, С),непрерывно дифференцируемых по х и непрерывных по С в некоторой области Г(х, С), называется общим решением уравнения в области D, если: 1) у =(х, С) является решением уравнения y’=f(х,у) для всех фиксированных С из некоторой области GR (на множествах X с, таких, что для любых х X с и у =(х) (х, у) D); 2) для любых начальных условий М0(х0, y0) D существует такое С0 G, что y0=(х0, С0), т. е. уравнение y’=f(х,у) дает решение задачи Коши.
84-87.Осн классы ДУ 1 порядка, интегрир в квадратах.
1) ДУ с разделяющимися переменными – уравнения вида:
1. M(x)N(y) dx+K(x)L(y)dy=0
2. y`=f(x)g(y)
Решаются по схеме:
1. Делим на N(y)K(x):
M(x)/K(x)dx+L(y)/N(y)dy=0 и интегрируем обе части( в правой части вместо 0 будет С)
2. dy/dx=f(x)g(y). Обе части * на dx и / на g(y), получим:
dy/g(y)=f(x)dx и интегрируем обе части.
2) Однородные функции и однородные ДУ.
Функция f( )= *g(x,y) наз. Однородной функцией k-того порядка, R.
ДУ вида y`= f(x.y) наз. Однородным, если z=f(x,y) – однородная функйия нулевой степени, т.е. для любых t f(tx,ty)=f(x,y).Аналогично ДУ
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 наз. Однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одной степени.
3) Линейные ДУ 1 порядка.
Общий вид линейного ДУ 1 порядка:
y`+p(x)y=q(x)
1).если q(x) ,то y`+p(x)y=0 – однор. лин. ДУ 1 порядка
2)если q(x) 0, то ДУ – неоднородное линейное ДУ
Решение 2):
Y=uv, u=u(x), v=v(x); y`=u`v+uv`
U`v+uv`+ p(x)uv=q(x); u`v+u(v`+ p(x)v)=q(x);
dv/dx=-p(x)v,решаем и получим: v=
подставим v в u`v=q(x) получим u=
отсюда общее решение :
y=uv=( )*
88.ДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка
1.y``=f(x), y`=p,где p=p(x); y``=p`; p`=f(x); dp/dx=f(x) отсюда p= ; y`= ; dy/dx= ; dy= )dx интегрируем,:
2. y``=f(x,y`), y`=p; p=p(x); y``=p`
p`=f(x,p(x)); интегрируем, p=
подставляем y`, все аналогично отсюда ответ:
y=
3. y``=f(y,y`), y`=p; p=p(y) – сложная ф-я y
y``=p`y`=p`p; p`p=f(y,p) или (dp/dy)*p(y)=f(y,p(y)).
P=
P заменяем на y` получим
x=
89. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.св-ва.
Рассм. =-1
x1,x2 = ; =i – мнимая единица
=-1
z=a+bi; a,b , i- мнимая единица – комплексное число
a – действительная часть компл.числа, b- мнимая часть z
= a-bi – сопряженное z
z* =
Комплексные числа расп-ны на пл-ти, кроме оси ОХ
z=a+bi
Любое компл число можно записать в тригон форме
90,91.Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение.
Обыкн ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:
(1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция
Если r(x) =0, то
(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ с пост.коэфф.
Ур-е вида (3) =0 – характерист.ур-е (1) и(2)
Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3)
Возможны 3 случая
1. кв.ур-е имеет разные корни α1 α2, D>0 тогда общее решение:
y=C1 C1, C2 прин.R
2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D=0
y= C1, C2 прин.R
3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi;
y= C1 C1, C2 прин.R