2)Определение средних значений

в спомним теорему о среднем значении, т.е. формулу

Число называется средним значением ф-ции f(x) на отрезке a,b. На практике нередко вычисляются такого рода средние значения как средняя пр-ность труда, ср. мощность электродвигателей и т.д.

Издержек производства

81.Несобственные(н/с) интегралы.

1)интегралы с бесконечными пределами

А) н/с интеграл с бесконечным верхним пределом инт.

О1. У=f(x), хЄ[a;+) , где а- конечное число. Ф-ция f(x) и интегрируема на любом отрезке [а;B]  [a;+). (1) --н/с интеграл с бесконечным верхним пределом

Иногда (1) называют н/с и. первого рода

О2. Если предел в правой части равенства (1) сущ. и явл. конечным числом, то н/с интеграл назыв. сходящимся, в противном случае – расходящимся

Б) н/с интеграл с бесконечным нижним пределом

О3. у= f(x) (-∞;b), которая определена и интегрируемана [А;В]с(-∞;b)

(2) --н/с интеграл с бесконечным нижним пр.

О4. понятие сходимости аналогично

В) н/с интеграл с двумя бесконечн. пределами интегр.

О5. у=f(x) (-∞;+∞), (А;В)с(-∞;+∞)

(3) --н/с интеграл с 2мя бесконечн пределами

Можно переписать как

(4) где -∞<С<+∞ , (3)=(4)

Исследование сходимости интеграла

1) α=-1, тогда ₌

2) α=-1 интеграл расходится

Вывод: н/с интеграл сходится если α<-1, расходится если α≥-1

2)И. На конечном промежутке

А)пусть ф-ция f(x) определена на конечном промежутке a,b) и интегрируема на любом отрезке a,a,b)

иногда это выражение называют н/с и. второго рода.

Если конечн предел сущ., то и. наз. сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Б)н/с интеграл от разрывных функции

пусть задана ф-ция у=f(x) [a;b], причем c[a;b], такая, что ф-ции f(x) в этой точке имеет бесконечный разрыв (x=c – точка разрыва второго рода) , тогда --н/с интеграл от разрывной ф-ции

Если оба предела в правой части существуют и явл конечными числами, то н/с интеграл разрывн ф-ции назыв сходящимся, а если один из пределов не сущ. или =∞, то н/с интеграл наз. расходящимся

82.Дифференциальное уравнение(ду)

Осн.понятия

О1. ДУ – ур-е, сод неизв ф-цию, независ переем-ю и ее производные различных порядков.

Если неизв ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).

Если неизв ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных.

В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y⁽ⁿ⁾)=0 (1) неявный

y⁽ⁿ⁾ =f(x,y,y’,…,y^(n-1)) (2)явный

Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.

О2. ф-ция у=у(х) наз решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими произв-ми, она обр-т его в верное рав-во. Задача нах-я решения ДУ наз задачей интегрирования ДУ.

О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=(x,c₁,c₂,…,c_n), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных

О4. Частичным реш ДУ наз реш, получ из общего при некот конкретных числовых значениях постоянных c₁,c₂,…,c_n

Демографическая модель

Из статистики известно, что для конкр региона число рожд и умерш за ед врем проп-но числ-ти населения с коэф. Проп-ти k₁,k₂. Найти закон измен числ-ти населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс.

Реш. Пусть y=y(t) –число жителей региона в момент времени t.

∆у – прирост населения за время ∆t

где k=k₁-k₂

Разделим на ∆t

,

y’=ky, где k=k1-k2 y=ce^kx