9. Система m-линейных ур-й с n неизв-ми. Матричная запись системы. М-д обр матрицы. М-д Крамера.

В общ виде сист m-лин Ур-ий с n неизв-ми имеет вид

Если b1 = b2 = bm = ……..= 0, то такая система наз однор, если одно хотя бы из этих чисел не 0, то это система неоднор.

Введём обозначения:

a11 a12 ….. a1n

a21 a22…….. a2n

am1 am2…… amn

- основная матрица системы

A=

x1

x2

…..

xn

- матрица-столбец неизвестных

X=

b1

b2

…..

bm

B

- матрица-столбец свободных членов или правая часть системы

=

AX = B

a11 a12 ….. a1n

a21 a22…….. a2n

am1 am2…… amn

b1

b2

…..

bm

(A/B)=

О. Упорядоч набор чисел (с1, с2, ……. cn ) таких, что будучи подставл в каждое из ур-й сист, они обр-т их в верные рав-ва (тожд-ва), наз решением системы.

О. Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной (решений нет).

О. Если совместная сист имеет единств реш-е, то она наз опред. Если же реш-й много (не один набор), то неопределённой.

Метод обратной матрицы.

Т.: Пусть задана СЛАУ AX=B n ур-й с n неизв-ми (матр А – кв, разм-ти n*m), след-но, если опр-ль матр отличен от 0 (det A ≠ 0, A – неособ, невырожд), то СЛАУ имеет реш-е, кот можно найти по ф-ле: X=A‾¹*B

Док-во:

A‾¹*А*Х = A‾¹*B, т.к. A‾¹*А=Е

Е*Х= A‾¹*B

Метод Крамера.

Т: Пусть задана СЛАУ AX=B, m Ур-й с n неизв-ми, где осн матр А невырожд-я, то реш-я м. б. найдены по ф-лам:

xi = ∆i / ∆ , i =1; n

∆= detA, ∆i – это знач-е опр-ля, получ из матр А заменой i-того столбца на матрицу-столбец В.

Док-во:

Т .к. матр невырожд, то сущ обр матр A‾¹, то согласно вышеизлож т-ме, можно реш-е записать в виде:

Х

a11 a21 ….. am1

a12 a22…….. am2

…………………………..

a1n a2n…… amn

b1

b2

…..

bn

= A‾¹*B

X

a11 b1 + a21 b2 + . ………. + an1 bn

a12 b1 + a22 b2 + … …… + an2 bn

a1n b1 + a2nb2 + ………… + ann bn

=B*(1/detA)* A ^т = (1/detA)* * * = (1/detA) *

det = ∆

с учётом определителя матрицы n-го порядка получаем

∆1/∆

∆2/∆

…….

∆n/∆

и это = = (1/∆) *

10. Метод Гаусса. Эквив преобраз-я систем. Базисные и своб неизвестные. Критерий совместности.

Эквивал преобразования СЛАУ:

1. Умн-е любого из ур-й сист на одно и то же число ≠ 0.

2. Перестановка уравнений системы.

3. Сл-е любых 2-ух Ур-й сист с предварит умн-м одного из них на любое действит число.

4. удаление уравнений вида: 0x1+0x2+……+0xn=0

Т: эквивал преобраз-я 1-4 не нарушают равнос-ти систем. Эквивал преобраз-я СЛАУ 1-4 равнос-ны эквивал преобраз-ям матр A/B (1. умн-е эл-ов матр или строки матр на одно и то же число ≠ 0; 2. перестановка любых 2-х строк матр; 3. сл-е любых 2-х строк матр с предварит умн-м одной из них на любое действит число; 4.уд-е нул строки.)

Метод Гаусса позволяет решать сист m Ур-й с n неизв-ми.