1.3 Моделювання і розрахунок протиточного теплообмінного апарату типу “труба у трубі”

Для опису структури потоків в протиточному трубчастому теплообмінному апараті типу “труба у трубі” скористаємося гідродинамічною моделлю ідеального витиснення для обох потоків. Схема потоків в теплообмінному апараті представлена на рис.2.1.

Складемо рівняння теплового балансу для основного потоку холодоагента:

-G₁^.C_P1(dT₁(x)/dx) + Q_T =0 (2.1)

G_Х^.C_Pх(dT_X(x)/dx) + Q_T = 0 (2.2)

де G₁, G_X – масова витрата основного потоку і холодоагента, кг/с;

С_Р1, С_Рх – теплоємність основного потоку і холодоагента, Дж/(кг·град).

Q_T – інтенсивність джерел тепла в розглянутій системі, Дж/с.

Q_T = K_TF/L [T_X(x)-T₁(x)].

Рис. 2.1 Схема потоків в протиточному теплообмінному апараті типу “труба у трубі”.

На відміну від прямоточного теплообмінного апарату, розглянута модель відноситься до жорстких (крайових) задач, тобто граничні умови задані на різних кінцях перемінної Х:

для основного потоку:

при Х = 0; Т₁ = Т₁⁰;

для потоку холодоагента: (1.9)

при Х = L; T_X = T_X⁰;

Рішення крайової задачі (1.7-1.8) при граничних умовах(1.9) проводять, звичайно, ітераційним методом із завданням, в якості початкового наближення, температури холодоагента при Х = 0 і рішення отриманої системи диференційних рівнянь 1-го порядку як задачі Коши. В точці X = L проводять перевірку - якщо різниця між розрахунковим значенням температури холодоагента при X=L і заданим в граничних умовах (1.9) менше або дорівнює точності обчислень ( = 1^.10^-3), то початкове наближення задано вірно. В протележному випадку, задають нове значення початкового наближення і повторюють інтегрування системи диференційних рівнянь (1.7–1.8) в ітераційному циклі доти, поки не виконається умова:

|T_X⁰-T_X^і(L)| <ε

де Т_Х^і(L) – розрахункове значення температури холодоагента при Х=L.

1.4 Математичний опис і розрахунок тоа з двома зонами різної гідродинамічної структури

В хімічної технології достатньо часто зустрічаються випадки, коли потоки в ТОА необхідно представити різними гідродинамічними моделями. Наприклад, при обігріві або охолодженні змійовиком потоку, який перемішується (рис.3.1).

Для побудови математичного опису, зона тепловіддачі кожного потоку представляється відповідною гідродинамічною моделлю: першого потоку – моделлю ідеального змішування, другого - моделлю ідеального витиснення.

Для кожної зони записуємо рівняння теплового балансу:

G₁C_P1(T₁⁰ – T₁^K)+Q_Т.СМ=0, (1.10)

G₂С_Р2dT₂(x)/dx+Q_Т.В=0, (1.11)

де Q_Т.СМ – інтенсивність джерел тепла в зоні змішування:

,

Q_Т.В - інтенсивність джерел тепла в зоні витиснення:

Q_Т.В = F/L K_T [T₁^K – T₂(х)].

Рис. 1.3. Схема ТОА з двома зонами різної гідродинамічної структури теплообмінних потоків.

З математичних виразів для джерел тепла випливає:

. (1.12)

Підставляємо в рівняння (1.12) замість Q_Т.В його вираз з рівняння (1.11), та одержимо:

. (1.13)

Підстановкою виразу (1.13) в рівняння (1.10) одержуємо рівняння теплового балансу теплообмінника:

G₁C_P1(T₁⁰ – T₁^K) - G₂C_P2(T₂^K - T₂⁰) = 0. (1.14)

Таким чином, математичний опис ТОА з двома зонами різної гідродинамічної структури можна представити у вигляді рівнянь теплового балансу зони витиснення (1.11) и теплового балансу теплообмінника (1.14):

dT₂(x)/dx = K_T·F/(G₂L^.C_P2)[T₁^K - T₂(x)]. (1.15)

G₁C_P1(T₁⁰ – T₁^K) – G₂C_P2(T₂^K – T₂⁰) = 0. (1.16)

з граничною умовою: T₂(x)|_x=0=T₂⁰

Моделювання ТОА полягає у визначенні значень температури потоків на виході з апарату Т₁ і Т₂ по заданим значенням G₁, G_2, C_P1,C_P2, T₁⁰,T₂⁰,F,L.

Значення коефіцієнта теплопередачі може бути прийнято постійним або розраховуватися для кожного перетину зони ідеального витиснення.

Дана задача вирішується ітераційним методом із завданням якогось наближення ⁽⁰⁾Т₁^К для температури в зоні ідеального змішування. Інтегруючи диференційне рівняння (1.15) при заданому початковому наближенні, ми одержимо значення температури на виході із зони витиснення ⁽ⁱ⁾Т₂^К, яке використовується для рішення алгебраїчного рівняння (1.16). Якщо (T₁^K – ⁰T_K)>ε, де ε – точність обчислення, то необхідно задати нове наближення:

ⁱT₁^K =φ(^i-1T₁^K). (1.17)

Таким чином, моделювання апарату зводиться до ітераційного рішення рівняння f(T₁^K) = 0 з інтегруванням диференційного рівняння на кожній ітерації.