5.3 Поліноміальний регресійний аналіз
Широке застосування в науковій і інженерній практиці одержали апроксимуючі функції у виді алгебраїчних багаточленів – поліномів:
-
(5.14)
Перевага при використанні поліномів у тому, що невідомі коефіцієнти (параметри) a1, а2, ...аn входять у рівняння лінійно.
Збільшуючи порядок такого полінома, можна одержати практично будь яку ступень наближення розрахункових даних до експериментальних і навіть повного збігу між ними.
У виді
полінома можна використовувати
залежність, що містять
більше число перемінних, наприклад:
Задача побудови математичного опису процесів у виді рівняння (5.14) зводиться до находження таких значень коефіцієнтів ai, при яких досягається найкращий збіг експериментально отриманих значень функції Y і розрахованих Yp по апроксимуючій залежності.
Одним з методів находження коефіцієнтів апроксимуючих поліномів є метод найменших квадратів (МНК). Згідно МНК коефіцієнти апроксимуючого полінома будуть щонайкраще відповідати експериментальним даним, якщо сума квадратів різниці між експериментальними значеннями функції Yеі і розрахованими по апроксимуючому поліному при тих самих значеннях аргументу Ypi, буде мінімальної, тобто буде здійснюватися умова:
-
(5.15)
Після підстановки (2.1) в умову МНК (2.2) одержимо:
-
(5.16)
де а0, а1, …, аn – шукані (невідомі) коефіцієнти поліноміальної емпіричної моделі процесу; n – порядок полінома; N – кількість дослідних значень функції У.
Перемінна хі0 вводиться в рівняння (5.16) для одноманітності запису.
Як відомо, функція S має мінімум за умови, що частинні похідні по незалежним перемінним (у даному випадку шуканим коефіцієнтам а0, а1, …, аn) дорівнюють нулю:
,
чи
-
(5.17)
Наводимо отриману систему рівнянь до наступного вигляду (до так називаної системи нормальних рівнянь):
-
(5.18)
Вирішуючи систему (5.18) як лінійну щодо коефіцієнтів а0, а1, …, an, знаходимо значення останніх, задовольняючі МНК.
Застосування ЕОМ для рішення таких задач значно полегшує обчислювальний процес, тому що процедура складання системи нормальних рівнянь легко формалізується і виконується на ЕОМ. МНК придатний для розрахунку параметрів (коефіцієнтів) більш складних залежностей, чим поліноміальна, наприклад, логарифмічних, показових і ін., у тому випадку, якщо спеціальними перетвореннями ці залежності можна привести до вигляду, аналогічному поліному.
Додаток 6
Форма титульного аркуша
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ молоді та спорту УКРАЇНИ
Державний вищий навчальний заклад
«УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ХІМІКО-ТЕХНОЛОгіЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
Кафедра технології неорганічних речовин та екології
КУРСОВА РОБОТА
про технологічну практику
на _____________________________
(виробництво)
Студент _______________________________
(прізвище, ім’я, по-батькові)
Група _________________________________
Цех ___________________________________
Керівник практики
від підприємства ________________________
Керівник практики
від університету ________________________