14. Язык логики предикатов

Алфавит языка логики предикатов образуется присоединением к алфавиту языка логики высказываний новых исходных знаков.

1. Кванторы: А – квантор всеобщности; и Е – квантор существования.

2. Предметные, или индивидуальные ,переменные: x, y, z, x1, y1, z1, и т.д.

3. Символы N – местных (n – 1, 2, 3, …) предикатов, или n-местные предикативные буквы.

4. Определение предикатной формулы:

1. а) пропозициональная буква есть формула

б) выражение, состоящее из n-местной предикативной буквы с приписыванием слева n-членной последовательностью предметных переменных (не обязательныо различных), есть формула;

2. а) если А,В – формулы, то каждое из следующих выражений:

~A, (A^B); (A˅B); (A->C)

Есть также формула;

б) если А – формула, x – предметная переменная, то каждое из следующих выражений: (А)хА; (Е)хА, где (А) и (Е) – кванторы, есть формула.

3. Выражение считается формулой тогда, и только тогда, когда оно может быть построенно в соответствии с пп. 1-2.

15. Естественный вывод в логике предикатов

Описание этой системы получается из описания системы N естественного вывода в логике высказываний добавлением к правилам логического следования правил введения и удаления кванторов.

Ниже в схемах правил A, C – формулы, х, у – переменные, |A|^x_y – результат корректной подстановки у в А вместо х:

1. Введение Всеобщности: |A|^x_y/ (A)xA

2. Удаление Всеобщности: (A)xA/|A|^x_y

3. Введение Существования: |A|^x_y/ (Е)xA

4. Удаление Существования: (Е)xA |A|^x_y -> С/ C

Ограничения на применения правил ВВ, УС.

1. При построении доказательства правило ВВ применяется, если выполняются следующие условия: 1) собственная переменная данного правила не входит свободно в формулы, написанные ранее в качестве допущений (в том числе и в качестве допущения косвенного доказательства): 2) собственная переменная не входит свободно в формулу, обозначенную в схеме правила посредством (А)хА (т. е. в заключение данного правила).

2. При построении доказательства правило УС применяется, если выполняются следующие условия: 1) собственная переменная данного правила не входит свободно в формулы, написанные ранее в качестве допущений (в том числе и в качестве допущения косвенного доказательства); 2) собственная переменная не входит свободно ни в формулу, обозначенную посредством (Е)хА, ни в формулу, обозначенную посредством С, в схеме правила УС (т. Е. ни в левую посылку, ни в заключение данного правила).

Правило УВ можно охарактеризовать как правило логического перехода от общего предложения к рассмотрению его частного случая.

16. Понятие о модальной логике

В модальной логике изучаются структура и законы построения рассуждений, в состав которых входят высказывания, содержащие логические константы, называемые модальностями, или модальными операторами.

Модальные операторы как бы чувствительны к смыслу, выраженному в соответствующих высказываниях. Этим модальные операторы отличаются от пропозициональных связок ~, ^, ˅, -> классического исчисления высказываний.

□ - необходимо

◊ - возможно

1. □А -> A ( «если необходимо, что А, то А»);

2. А -> ◊A («Если А, что возможно, что А»);

3. □А <-> ~◊~A («Необходимо, что А, тогда и только тогда, когда невозможео, что не-А»)

4. ◊A<-> ~□~A («Возможно, что А, тогда, и только тогда, когда не необходимо, что не-А»)

Разделы модальной логики:

1. Логика Алетических Модальностей. Здесь «необходимо» употребляется для характеристики объективной значимости содержания высказывания. Указывается на то, что в данном высказывании формулируется закон некоторой области действительности, некоторая объективно необходимая зависимость явлений и т.д.

2. Деонтическая Логика. «Необходимо» - «Должно»; «Возможно» - «Допустимо».

3. Логика Временных Модальностей. «Необходимо» - «Всегда»; «Возможно» - «Иногда».

Определение Модальной формулы.

1. Всякая пропозициональная буква есть модальная формула.

2. а) Если А, В суть модальные формулы, то каждое из следующих выражений:

~A

(A^B)

(A˅B)

(A->B)

Есть модальная формула.

Б ) Если А есть модальная формула, то □А также есть модальная формула.

3. Выражение может считаться формулой тогда и только тогда, когда оно может быть построено в соответствии пп. 1-2.

Упражнения: 1ый вар. Перевод суждения с естественного языка на язык логического диалога 2ой вар. Док-во формул в системе естественного вывода