10. Квазисильное косвенное доказательство

Квазисильное доказательство можно рассмотреть как разновидность слабого косвенного доказательства, с уменьшенным количеством ограничений, а именно при построении квазисильного доказательства не требуется вхождение специального допущения слабого косвенного доказательства в доказательство.

11. Конструктивная логика как фрагмент естественного вывода

Логическая система, имеющая в качестве основных правил: правила логического следования, правило построения прямого доказательства и правило построения квазисильного косвенного доказательства, представляет собой одно из исчислений конструктивной логики.

В конструктивной логике имеют место следующие теоремы, с помощью которых обосновываются правила, применяемые в так называемых разделительных доказательствах, т. е. доказательства, строящихся путём опровержения, или исключения (как невозможных) некоторых из рассматриваемых случаев.

Её специфические теоремы и производные правила:

1. Правило Удаления Отрицания (Т. 34): A, ~A/ B

2. Удаление Дюзъюнкции посредством Отрицания или Модус Толлендо Поненс (Т. 35, Т. 36, Т. 37, Т. 38): А˅В, ~A/ B; А˅В, ~B/ A; ~А˅В, А/ В, А˅~В, В/ А

Конструктивная логика, как самостоятельная логическая система, имеет свою семантику. Её возникновение связано с особым, конструктивным пониманием математических объектов, согласно которому математические объекты являются результатом процессов построения, и принятием такого способа мышления, который позволяет выявить специфические черты этих конструктивных объектов. Указанному требованию, в частности, не удовлетворяют классические (сильные) косвенные доказательства, так как с их помощью в матиматике доказываются так называемые чистые теоремы существования. В то же время, согласно конструктивному пониманию, существование объекта с данными свойствами считается доказанным, когда указывается способ потенциально осуществимого построения объекта с данными свойствами.

Конструктивная логика своим развитием во многом обязана трудам таких совецких учёных, как А. Н. Колмогоров, В. Г. Гливенко, А. А. Марков, Н. А. Шанин и др.

12. Расширение конструктивной логики до классической посредством добавления пр. До

Правило Двойного Отрицания: ~~A/ A

Новая логическая система, полученная добавлением ДО к списку правил следования конструктивного исчисления высказываний, обозначается посредством N^cs

В системе N имеет место закон двойного отрицания. Поэтому в системе N производно правило ДО системы N^cs

Эти системы равнообъёмны. Установление этого сводится к доказательству следующих предложений.

Лемма 1. Любое доказательство в системе N^cs можно преобразовать в одноимённое доказательство в системе N.

Лемма 2. Любое доказательство в системе N можно преобразовать в одноимённое доказательство в системе N^cs. 13. Понятия (семантической) корректности, адекватности и полноты логической системы

1. Свойство логической системы, состоящее в том, что доказуемые в ней формулы тождественно-истинны, называется корректностью данной системы относительно класса логических тождеств, или семантической корректностью.

2. Свойство логической системы, состоящее в том, что любая тождественно-истинная формула доказуема в ней, называется полнотой данной системы относительно класса логических тождеств, или семантической полнотой.

3. Руководствуясь требованиями корректности и полноты, можно судить об адекватности формального аппарата логического исчисления содержательно охарактеризованным принципам логики.