§ 3. Поперечность электромагнитных волн.

Сейчас мы рассмотрим, как происходят колебания в электромагнитной волне. Пусть волна будет плоской, т.е. E и H не зависят от x и y.

Вернемся к уравнениям Максвелла:

(1a)

(2a)

(3a)

(4a)

Отсюда видно, что H_z и E_z не зависят от z и t, т.е они могут быть либо постоянными, либо равными нулю. Мы рассматриваем только изменяющиеся поля, т.е. можем положить их = 0.

Таким образом, мы получим, что изменяются только E_x, E_y и H_x, H_y. Это означает, что вектор E=E_xi+E_yj перпендикулярен направлению распространения света. Аналогично, вектор H перпендикулярен направлению распространения.

Как ориентирован вектор E и вектор H друг относительно друга? Из (1а) и (3а) мы видим, что H_x связано с E_y и H_y c E_x.

Если первоначально E_y = 0, т.е. было создано поле, которое меняется только вдоль оси Y, то оно создает поле H_x. Поле H_x создает поле E_y и т.д.

Таким образом векторы E, H, z образуют правую тройку.

Из (3а) возьмем от 2-го уравнения:

или (9)

Это частные случаи волнового уравнения. Из них следует, что зная вектор всегда можно найти другой вектор — . Это однозначное соответствие. Покажем это:

§ 4. Решение волнового уравнения.

До сих пор мы не конкретизировали вид функций E(x,y,z,t) и H(x,y,z,t). Особенно большое значение имеют гармонические или монохроматические волны. Простейшим решением волнового уравнения является функция:

E_y(z,t) = E₀cos(t-kz+) (10)

H_x(z,t) = H₀cos(t-kz+) (11)

Подставим в уравнения Максвелла, учитывая что

(12)

Зная E, всегда можно найти H.

E, H, k — правая тройка.

Комплексные функции.

Здесь и далее мы будем представлять гармонические функции cos и sin в виде комплексных чисел. Вспомним некоторые свойства комплексных чисел

z ₁ = x₁+ iy₁, z₂ = x₂ + iy₂

Сумма: z = z _{1 +} z₂ = (x₁ +x₂) + i(y₁ +y₂)

Re z = Re z₁ + Re z₂

Производная:

Интеграл:

.

Формула Эйлера:

Решения действительные и комплексные.

Как видно из формулы Эйлера, функцию cos можно представить как

. (2.1)

Оказывается (проверить самим), что функция тоже является решением волнового уравнения. Значит, чтобы найти действительное решение, имеющее физический смысл, мы можем:

а) искать решение Е(x,y,z,t) в комплексной форме

б) взять от него действительную часть.

Внимание! Это справедливо, когда мы производим линейные операции над амплитудой — сложение, дифференцирование, интегрирование.

Использование комплексных функций оправдано тем, что целый ряд операций (например, дифференцирование) проще производить с экспоненциальными функциями, чем с синусоидальными.

Простейшие решения. Для монохроматического излучения зависимость от времени у всех видов волн будет одинакова. Но пространственная структура может быть разной.

Плоская волна: Для плоской волны зависимость вектора E от времени и координат имеет вид

(2.2)

Волновой фронт (поверхность одинаковой фазы) описывается уравнением

= k_xx+k_yy+k_zz = const (2.3)

Это уравнение плоскости. Для любой точки этой плоскости t-kr+ будет одинаково и Е будет одинаково.

Сферическая волна: (2.4)

=kr = (2.5)

Для любой точки сферы t-kr+ будет одинаково и Е тоже будет одинаково.

Решение волнового уравнения может быть и в виде других волн — сферических, цилиндрических, гауссовых пучков. Более того любая сумма волн (их линейная комбинация) также удовлетворяет волновому уравнению.